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Galilei-Invarianz

Als Bezugssystem, von welchem aus das mechanische Systeme "beobachtet" wird bietet sich meistens ein Inertialsystem an, in dem der Raum isotrop und homogen, und die Zeit homogen ist. Das bedeutet, in einem Inertialsystem sind alle Richtungen im Raum gleichwertig und alle Punkte in Raum und Zeit sind äquivalent. Dadurch ändern sich die physikalischen Gegebenheiten nicht, wenn das System im Raum verschoben oder gedreht wird. In einem Inertialsystem wird ein ruhender, freier Körper in Ruhe verbleiben. Das wäre zum Beispiel in einem beschleunigten Bezugssystem nicht der Fall, für einen beschleunigten Beobachter erscheint ein ruhender Körper in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt - da die Beschleunigung dem Raum eine Vorzugsrichtung gibt, ist ein beschleunigtes Bezugssystem kein Inertialsystem.

Eine Koordinatentransformation zwischen zwei Inertialsystemen $I$ und $I'$ in denen jeweils der Ortsvektor $\mathbf{r}$ bzw. $\mathbf{r'}$ gemessen wird und die sich mit konstanter Geschwindikeit $\mathbf{v_0}$ relativ zueinander bewegen, hat die Form

und wird Galilei-Transformation genannt. Im Prinzip kann eine Galilei-Transformation auch eine Verschiebung in der Zeit enthalten, $t'=t+\tau$, und eine Rotation im Raum, $\mathbf{r'}=A\mathbf{r}$, $A^T A= A A^T=1$, der Einfachheit halber wird hier aber nur die gleichförmige Translation betrachtet.

Das durch Erfahrung gestützte Galileische Relativitätsprinzip besagt, dass die Gesetze der klassischen Mechanik in allen Inertialsystemen die gleichen sind. Die Form von $L$ muss also so gewählt werden, dass die Bewegungsgleichungen invariant unter Galilei-Trasformationen sind.

Um die Lagrange-Funktion für einen Massepunkt aufzustellen, der sich in einem Inertialsystem $I$ frei bewegt, d.h. ohne den Einfluss eines Potentials oder von Zwangsbedingungen, ist der Ortsvektor $\mathbf{r}$ eine geeignete Wahl der Koordinaten. $L$ kann aber nicht explizit von $\mathbf{r}$ oder der Zeit $t$ abhängen, weil das der Homogenität von Raum und Zeit viedersprechen würde. Gleichzeitig verlangt die Isotropie des Raums, dass $L$ nicht von der Richtung der Geschwindigkeit $\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}$ abhängen darf, sondern nur von deren Betrag, bzw ihrem Quadrat $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v^2$. Es ist also $L=L(v^2)$.

In einem Inertialsystem $I'$, das sich relativ zu $I$ mit unendlich kleiner Geschwindigkeit $\mathbf{\varepsilon}$ bewegt, darf sich die Lagrange-Funktion $L'=L(v'^2)=L\left((\mathbf{v}+\mathbf{\varepsilon})^2\right)$ nur um eine totale Ableitung einer beliebigen Funktion nach der Zeit von $L(v^2)$ unterscheiden, weil diese keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen hat. Wird $L'$ nach $\mathbf{\varepsilon}$ entwickelt, erhält man (unter Weglassen unendlich kleiner höherer Potenzen von $\varepsilon$)

Damit der zweite Term eine totale Ableitung nach der Zeit ist, darf die Geschwindigkeit $v$ nicht höher als linear eingehen, so dass $\frac{\partial L}{\partial v^2}$ konstant sein muss. Damit ist $L$ proportional zu $v^2$,

$L=\frac{m}{2}\; v^2.$

Die Proportionalitätskonstante $m$ wird Masse genannt und ist zunächst beliebig, da $L$ beliebig umskaliert werden kann. Mit der Additivität der Lagrange-Funktion erhält sie aber eine direkte Bedeutung für die Dynamik des Systems, das im Allgemeinen Teilchen verschiedener Massen enthalten kann.

Da diese Form von $L$ unter infinitesimalen Galilei-Transformationen zu der gleichen Dynamik des Systems führt, sind die Bewegungsgleichungen mit dieser Lagrange-Funktion auch invariant unter endlichen Transformationen $\mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+\mathbf{v_0}$, $L$ ändert sich dabei nur um eine totale Ableitung nach der Zeit.

Vielteilchensysteme

In einem System, aus mehreren Teilchen, die nicht untereinander wechselwirken und auch keinen äußeren Einflüssen unterliegen, ergibt sich aus den oben diskutierten Eigenschaften die Lagrange-Funktion

Der globale Vorfaktor $1/2$ könnte auch weggelassen werden, weil er nichts an den Bewegungsgleichungen ändert. Mit diesem Vorfaktor ist die Lagrange-Funktion der nicht-wechselwirkenden Teilchen gerade gleich der gesamten kinetischen Energie des System, $L=T$.

Wird eine Wechselwirkung der Teilchen untereinander oder ein äußeres Potential (d.h. eine äußere Kraft) eingeführt, kann diese durch das hinzufügen einer Wechselwirkungsfunktion $-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},…)$, die von den Koordinaten der Teilchen abhängt, berücksichtigt werden. Dass die Wechselwirkungsfunktion von den Koordinaten aller Teilchen zum selben Zeitpunkt abhängt, entspricht der Annahme, dass die Wechselwirkung augenblicklich stattfindet und sich unendlich schnell ausbreitet, weshalb diese Methode nur in der klassischen, nicht-relativistischen Mechanik zulässig ist.

Die Funktion $U$, die so auf korrekte Bewegungsgleichungen führt, ist die potentielle Energie des Systems.

Die Euler-Lagrange-Gleichungen

ergeben durch Einsetzen von $L=T-U=\sum_i \frac{m_i v_i^2}{2}-U$ die Newtonschen Bewegungsgleichungen

mit der Kraft auf Teilchen $i$,

Umkehrbarkeit

Sowohl die in den vorigen Abschnitten entwickelte Lagrange-Funktion $L$ als auch die Bewegungsgleichungen bleiben bei Zeitumkehr $t\mapsto -t$ unverändert, so dass alle in diesem Rahmen formulierten Gesetze isotrop in der Zeit sind. Das heißt, alle Bewegungen des Systems sind reversibel und könnten auch in der umgekehrten Richtung ausgeführt werden. Das gilt in allen konservativen Systemen, in denen alle Kräfte durch ein Potential hervorgerufen werden oder Zwangskräfte sind.

In einem nicht konservativen oder dissipativen System, in dem z.B. auch Reibungskräfte auftreten oder die Energie des Systems sonstwie an die Umgebung abgegeben wird, sind Bewegungen im Allgemeinen nicht reversibel. Um Dissipation zu berücksichtigen, muss das Hamiltonsche Prinzip anders angewandt werden, so dass nicht

gelten soll, sondern

Die virtuelle Arbeit $\delta A= \mathbf{F}\cdot\delta \mathbf{q}$ ist die Arbeit, die die Kraft $\mathbf{F}$ bei einer virtuellen Verrückung (dort im Spoiler Vertiefung) leisten würde.