Über die Legendre-Transformation kann möglicherweise der Lagrange-Formalismus verstanden werden. Schließlich ist die Langrange-Funktion die Legendre-Transformation der Hamilton-Funktion. Ein Beispiel aus der Wirtschaft soll verdeutlichen, wie man sich die Legendre-Transformation vorstellen kann.
Wir haben eine Fabrik, die eine Anzahl an Güter innerhalb einer Woche produzieren soll. Die Kosten pro Gut , die bei der Produktion entstehen, steigt mit der Anzahl der Güter, die pro Woche produziert werden sollen. So müssen bei steigender Anzahl die Arbeiterinnen und Arbeiter mehr Lohn wegen größeren Arbeitszeiten erhalten. Irgendwann fallen auch Sonderzahlungen an oder neue Maschinen müssen gekauft werden. So ist der Graph, der die aktuellen Kosten pro Gut zur aktuellen Zahl der produzierten Güter angiebt, eine streng monotone Funktion:
Das Integral gibt die Gesamtkosten an, die wir als Unternehmen für die Produktion von Gütern bezahlen müssen. Sei der Weltmarktpreis für unser Gut und sei die Zahl der Güter, die wir produziert haben. Wenn wir diese verkaufen, machen wir Umsatz und damit einen Gewinn von :
Wie viele Güter sollen wir produzieren, damit unser Gewinn maximal ist? Solange der aktuelle Weltmarktpreis größer als unsere aktuellen Kosten ist (), machen wir zusätzlichen Gewinn, wenn wir weitere Güter produzieren. Bei machen wir durch die Produktion weiterer Güter Verlust? Wenn wir nämlich an neuen Gütern produzieren, so ist der erzielte Gewinn durch den Verkauf der an neuen Gütern:
Die optimale Anzahl an zu produzierenden Gütern ist diejenige Anzahl , bei der ist. Dann ist der gemachte Gewinn die Legendre-Transformation von unseren Kosten:
Es ist:
Offene Fragen
Kann das obige Beispiel im Fall des Lagrange-Formulismus angewandt werden, um die Lagrange-Funktion zu verstehen? So ist es möglich den Impuls als „Kosten“ zu interpretieren. Wenn nämlich ein Körper die Geschwindigkeit und den Impuls hat, so ist die Energie, die aufgewendet werden muss, um die Geschwindigkeit um zu erhöhen. Wie kann aber interpretiert werden? Was gibt dieser Term an?
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