Die Halbwertszeit gibt die Zeit an, in welcher die Hälfte der radioaktiven Kerne einer Probe zerfällt.

Formelzeichen

%%T_{\frac{1}{2}}%%

Einheit

%%1 \, \mathrm{s}%%

Formel

$$T_{\frac{1}{2}}= \frac{ln 2}{\lambda},$$ wobei %%\lambda%% eine stoffabhängige Zerfallskonstante ist.

Zerfallsgesetz

Betrachtet man die Anzahl an radioaktiven Kernen %%N%%, die Masse an radioaktivem Material %%m%% oder dessen Aktivität %%A%% in Abhängigkeit der Zeit, ergibt sich ein exponentieller Zusammenhang. $$N=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$$ Äquivalent gilt für die Masse und die Aktivität:

%%m=m_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}%% und %%A=A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}%%

%%N_0, m_0, A_0%% sind dabei jeweils die Ausgangswerte zum Zeitpunkt %%t=0%%.

Eine weitere Form des Zerfallsgesetzes existiert. Es gilt: $$N=N_0 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$$ $$m=m_0 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$$ $$A=A_0 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$$

Herleitung der Formel für %%T_{\frac{1}{2}}%%

Im Ansatz überlegen wir uns, dass nach Ablauf einer Halbwertszeit %%T_{\frac{1}{2}}%% noch genau die Hälfte der Ausgangsatomkerne %%N_0%% vorhanden sind. Es gilt also:

%%\frac{1}{2} N_0 = N_0 \,e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}}%%

Diese Gleichung soll im Folgenden nach %%T_{\frac{1}{2}}%% umgestellt werden. Dazu wird die gesamte Gleichung zunächst durch %%N_0%% dividiert.

%%\frac{1}{2} = e^{-\lambda \cdot T_{\frac{1}{2}}}%%

%%ln \left(\frac{1}{2} \right) = ln \left( e^{-\lambda \cdot T_{\frac{1}{2}}} \right)%%

%%ln \left(\frac{1}{2} \right) = - \lambda \cdot T_{\frac{1}{2}} \cdot ln(e)%%

%%ln \left(\frac{1}{2} \right) = - \lambda \cdot T_{\frac{1}{2}}%%

%%ln(1) - ln(2) = - \lambda \cdot T_{\frac{1}{2}}%%

%%0 - ln(2) = - \lambda \cdot T_{\frac{1}{2}}%%

%%- ln(2) = - \lambda \cdot T_{\frac{1}{2}}%%

%%\frac{ln(2)}{\lambda} = T_{\frac{1}{2}}%%

%%T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln(2)}{\lambda}%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Halbwertszeit:
Nish 2019-04-03 14:34:04
Feedback (Verbesserungsvorschläge) an User @schreibeLehmann:
Danke nochmals für die Überarbeitung bzw. Erweiterung des Artikels! Im Allgmeinen ist dein Part natürlich schon sehr gut und ichhätte nur zwei Kleinigkeiten/ Punkte:

- Bei Serlo haben wir uns entschieden bei Artikel die Du- bzw. die Befehlsform herzunehmen (siehe http://de.serlo.org/90391 bei der Checkliste Spiegelstrich 5 bei den allgemeinen Richtlinien für Artikel). Dies haben wir zur Einheitlichkeit entschieden und damit spricht man z.B. die SuS direkter an. Ich hoffe, dass ist verständlich für dich! Ansonsten lass mich (uns) gerne deine Meinung hierzu wissen.

- Es wäre super, wenn du bei der Herleitung ein Zweispalten-Layout hernehmen könntest und dann rechts immer eine Erklärung des Schrittes hinzufügst (vgl. z.B. http://de.serlo.org/4107)

Wenn du dabei Hilfe brauchst oder Fragen aufkommen, sag mir hier einfach Bescheid, dann finden wir schon eine Methode, wie ich dir das Ganze zeige. So kannst du auch interdisziplinär auf Mathe-Artikel verlinken ;) (also z.B. den ln, auf die Logarithmusregeln) Das ist ja gerade ein großes Plus bei Serlo.

LG,
Nish
Laura 2019-04-03 14:42:04
Hi, vielen Dank für die Erweiterung des Artikels! Ich würde mir, wenn möglich, noch ein passendes Bild wünschen, neben der Definition etwa, das macht den ganzen Artikel noch etwas ansprechender fürs Auge. Außerdem wäre es schön, wenn in der ersten Gleichung der Herleitung noch einmal auf oben verwiesen wird, damit klar wird, dass beide Werte für N gleichgesetzt werden und woher diese kommen.

Schöne Grüße
Laura
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Zu article Halbwertszeit:
schreibeLehmann 2019-04-02 17:17:22
Mein Vorschlag wäre, einen gesonderten Artikel für das Zerfallsgesetz einzuführen.
LG
Nish 2019-04-03 15:07:51
Ist der Artikel für dich zu lang, wenn man beide Themen hier behandelt? Was würdest du hier sonst noch thematisch ansprechen? Bitte um Verständnis ich bin nicht mehr so ganz in der Thematik drin und ist auch nicht mein Hauptfach ;)

Ich habe mich auch gefragt, ob man diesen Artikel nicht gleich Zerfallsgesetz bzw. Zerfallsgesetz (Halbwertszeit) nennt und somit die Halbwertszeit nur ein Bestandteil wird? Was meinst du dazu?

Ich würde dich bitten, dir mal noch folgendes Video anzuschauen (http://de.serlo.org/74224). Dort werden unsere Lernformate präsentiert.
Hierbei ist für dich v.a. interessant, was wir bei Serlo unter einem Artikel im Vergleich zu einem Kurs vorstellen. Dazu auch paar Worte unter http://de.serlo.org/108286.

Kurz gesagt: Artikel sind eher Zusammenfassung des Themas und dienen v.a. als Nachschlagewerk und erst in einem Kurs wird das Thema motivierend und schrittweise eingeführt.

Das Ganz ist natürlich nicht in Stein gemeißelt und den einzelnen Fächern bleibt bei Bedarf auch die Möglichkeit fachinterne Qualitätsrichtlinien zu definieren, wenn es überhaupt nicht anders geht!

Ich bin gespannt auf deine Meinung und ob du hiermit auf deinen Vorschlag bestehst oder einen anderen Vorschlag hast.

LG,
Nish
schreibeLehmann 2019-04-04 05:57:37
Hallo Nish! Vielen Dank für dein ausführliches Feedback! Deine Punkte ergeben für mich Sinn!

1) Du sprichst den Namen dieses Artikels an. Es ist durchaus denkbar, diesen Artikel "Aktivität und Zerfallsgesetz" zu nennen. Dann kann natürlich die Halbwertszeit als Unterpunkt Bestandteil sein. Es wäre schön, wenn wir den Artikel noch weiter mit Inhalten füllen würden:) (Schlagwörter: Aktivität(formel), charakteristische Zerfallskonstante, Einheit Becquerel). Eventuell sollten wir auch auf die Stochastik eingehen. Die Anzahl der noch übrig gebliebenen Kerne wird zwar mathematisch als Exponentialfunktion angenähert, das entspricht der Wirklich sehr gut. Allerdings gibt es natürlich auch Unterschiede zum "echten" radioaktiven Material. Um einen Punkt zu nennen: Die e-Funktion wird die x-Achse (oder t-Achse) nie erreichen, sondern nur annähern. Aber auch "der letzte" Atomkern wird sich irgendwann umwandeln und dann wäre N(t) = 0.

2) Wir können dann auch ein Diagramm passend zum Zerfallsgesetz mit einbinden und damit dann die Halbwertszeit erklären / einzeichnen.

3) Das Ansprechen mit "Du" finde ich super:)

4) Zwei-Spaltenlayout: Die Idee hatte ich auch:) Allerdings scheiterte es an technischem Wissen bzw. Zeit:(

5) Wenn ich über die Zusammenhänge "Artikel" vs "Kurs" nachdenke, dann bin ich auf deiner Seite. Die von mir eingetippte Herleitung sollte reduziert werden. In diesen Artikel könnte man lediglich den Ansatz ( also 0.5 N0) schreiben. Die gesamte Herleitung dann entweder in einem Kurs, oder zum "Aufklappen"? Was denkst du / was denkt ihr?

6) Ein anderer Gedanke meinerseits: Was haltet ihr davon, wenn wir statt N = N= * exp, die Abhängigkeiten von der Zeit t in den Formeln gleich mitschreiben. In der Mathematik schreiben wir auch f(x), dann könnten wir hier N(t) schreiben. Was sind eure Meinungen dazu?
Nish 2019-04-07 13:48:11
Sry., dass ich noch nicht geantwortet habe! Danke dir auch sehr für die ausführliche Antwort! Muss dich leider aus Zeitgründen, dir ordentlich zu antworten, auf morgen oder Diensrag vertrösten! Hoffe, dass ist in Ordnung!

Freue mich sehr, dass du so motiviert bist! :)

LG und noch ein schönes Rest-Wochenende,
Nish
Renate 2019-04-08 23:47:18
Hallo @schreibeLehmann, hallo @Nish,

ich wollte noch zwei Punkte anfügen - nichts für ungut, falls ich damit nur Dinge schreibe, die ihr ohnehin wisst und bedacht habt:


1. DARSTELLUNG DES ZERFALLSGESETZES MIT BZW. OHNE e-FUNKTION

So wie hier das Zerfallsgesetz aufgeschrieben ist, wird es nicht überall in der Schule verwendet.

Die Darstellung

%%N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}%%

mag in der Wissenschaft üblich sein,

aber wenn das Zerfallsgesetz in Klassenstufen oder Schularten gelehrt wird, in denen die natürliche Exponentialfunktion noch nicht behandelt wurde, wird man auf die Darstellung

%%N(t) = N_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_H}}%%

zurückgreifen. (%%T_H%% bezeichnet dabei die Halbwertszeit - ich finde das schreibtechnisch übrigens weit praktischer als %%T_{\frac{1}{2}}%%, was meint ihr?)


Auf Serlo sollten BEIDE Darstellungen vertreten sein - die mit der natürlichen Exponentialfunktion für Oberstufenschüler mit den entsprechenden Kenntnissen, die andere für Schüler ohne diese Kenntnisse. Ob beides innerhalb eines gemeinsamen Artikels erklärt wird, oder man hier in zwei oder noch mehr Artikel aufgliedert, ist natürlich eine andere Frage.



2. INTERDISZIPLINÄRE VERKNÜPFUNG ZUM MATHEMTIKBEREICH?

Prüft doch einmal, was es auf Serlo-Mathematik bereits zum exponentiellen Zerfall, Halbwertszeit usw. gibt,

zum Beispiel in den Artikeln auf dieser Seite:
https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-anderes/wachstums-zerfallsprozesse

Vielleicht findet sich da ja das Eine oder Andere, auf das man verlinken könnte, sodass man hier nicht alles neu schreiben muss.

Und vielleicht könnte man langfristig dann auch in die mathematischen Serlo-Artikel Hinweise und Verlinkungen auf entsprechende Physik-Artikel einbauen?



Viele Grüße
Renate
Nish 2019-04-10 23:36:27
Hallo @schreibeLehmann, nochmals mit einer kleinen Verspätung endlich meine Antwort auf deine letzte Nachricht! ;) Bitte um Verständnis, mir sind leider Sachen dazwischen gekommen....

Danke erstmal für die positive Aufnahme meines Feedbacks! Freut mich sehr! Nun zu deinen Punkten:

Zu 1) Finde deine Gedanken hier spannend und würde mich freuen, wenn du diesen Artikel nach deinen Vorstellungen umgestalten könntest. Aus Zeitgründen werde ich evtl. nicht ganz mitarbeiten können. Aber für Feedback finde ich selber oder andere sicher Zeit. Da werde ich dich zu gegebener Zeit mit anderen Communitymitgliedern connecten, wenn du magst.

Zu 2) Finde ich super! Wenn es dann doch bissl. länger wird, können wir uns ja überlegen, doch einen eigenen Artikel zu machen. Finde es aber erstmal gut, die Halbwertszeit hier unterzubringen. Ich denke, wenn wir alle Themen drin haben, können wir immer noch gemeinsam schauen, wie wir die ganze Thematik auf ggf. mehrere Artikel aufteilen und benennen ;)

Zu 3) Freut mich zu hören! :)

Zu 4) Achso. Falls du da nochmal Hilfe brauchst, gib mir einfach hier Bescheid. Hier findest du eine Erklärvideo zum Editor: http://de.serlo.org/47257. Ich finde eine Lösung, dir zu helfen, wenn das noch nötig ist (z.B. Telefonat über Community-Chat, siehe weiter unten) Außerdem siehe den Kommentar (Feedback) von Laura auf mein erstes Feedback ;)

Zu 5) Ich finde deine Idee super, erstmal die Herleitung in ein Aufklapp-Menü zu tun. Mit dem aktuellem Editor kann man aber leider keine Mehrspalten-Layouts wählen. Das geht dann mit unserem neuen Editor, wenn er online ist. Daher mein Vorschlag: Lass es doch erstmal so im Artikel. Sobald der neue Editor da ist, können wir die Herleitung in einen sog. Spoiler ("Aufklapp-Menü") tun. Dann hat er auch hier seine Berechtigung oder man löscht es hier, sobald es einen Kurs zum Thema gibt.

Zu 6) Ich bin deiner Meinung, dass das t hier hingehört, und finde die aktuelle Version der Formeln auch überhaupt nicht gut. Die Schreibweise mit t denke ich, sollte in der Oberstufe auch üblich sein. Renate hat in ihrem Kommentar ja auch gleich die Schreibweise mit dem t hergenommen ;)

Ansonsten könnten wir z.B. über unser Community-Chat (Mehr Infos siehe unter https://de.serlo.org/community im Abschnitt Community-Chat) auch mal telefonieren und so viel effektiver miteinander arbeiten. Gib einfach Bescheid, ob und wann du dafür mal Zeit hättest!

LG und bis bald,
Nish



Nish 2019-04-10 23:43:17
Hallo @Renate,

danke schomal für deinen wertvollen Input! Ich gehe aus Zeitgründen bei Gelegenheit bzw. hier nur kurz darauf ein und bin auf @schreibeLehmann's Input hierzu gespannt!
Ich denke über 1. werden wir wohl nochmal gemeinsam sprechen.
Zu 2. "Vielleicht findet sich da ja das Eine oder Andere, auf das man verlinken könnte, sodass man hier nicht alles neu schreiben muss." -> Finde ich auf ersten Blick nicht gut! Man sollte in beiden Bereichen alles Vollständig machen. Nur Verlinken finde ich also nicht gut. Verlinken als weitere Quelle finde ich gut... Aber können wir ja dann besprechen, wenn wir dazu kommen.

LG,
Nish
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