Aufgaben zur Nullstellenform - lernen mit Serlo!

Zuerst bestimmst du die Nullstellen: Setze die Funktion gleich $0$ und bestimme die Lösungen der Gleichung.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x-1\right)^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \sqrt{\phantom{x}}$
$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{4}$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm 2+1$

Die Nullstellen sind also gegeben durch $x_{1} = 2 + 1 = 3$ und $x_{2} = - 2 + 1 = - 1$ .

Jetzt bestimmst du den Öffnungsfaktor $a$ . Die Funktion ist in Scheitelpunktsform gegeben. Daher lässt sich der Öffnungsfaktor $\color{#009900}a$ direkt ablesen, denn:

$f(x)=\color{#009900}1 \cdot (x-1)^2-4$

Also ist $\color{#009900}{a=1}$ .

Untersuche jetzt, welcher der oben genannten Fälle vorliegt. Wegen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 1$ hat $f$ zwei verschiedene Nullstellen und es handelt sich um den 1. Fall. Einsetzen in die vorgegebene Form liefert die Nullstellenform:

$f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2) = 1\cdot (x- 3)\cdot (x-(-1))= (x-3)\cdot (x+1)$ .