Bestimmung der Nullstellenform am Graphen

(Verwende wieder das oben beschriebene Schema:)

Zuerst sind die Nullstellen des Graphen zu bestimmen. Du siehst, dass genau eine Nullstelle $x_1=-3$ existiert, deren Vielfachheit $2$ ist. Es liegt also der 2. Fall vor und die Funktionsgleichung ist von der Form

$f(x)=a\cdot (x-(-3){)}^2=a\cdot (x+3{)}^2$

mit dem Öffnungsfaktor $a$.

Als nächstes ist der Öffnungsfaktor $a$ zu bestimmen. Dafür kannst du zwischen zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen wählen:

1. Variante

2. Variante

Abgesehen von $a$ kannst du die Nullstellenform bereits abgeben. Sie lautet:

$f(x)=a\cdot (x+3{)}^2$

Setze jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist. Dann kannst die Gleichung nach $a$ aufgelösen und erhältst so den gesuchten Öffnungsfaktor.

Wähle zum Beispiel den Punkt $P(-2|1)$: Dieser liegt auf dem Graphen und ist keine Nullstelle, weil die zweite Koordinate ungleich Null ist. Setze also $P(-2|1)$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf:

$1=f(-2)=a\cdot (-2+3{)}^2=a\cdot 1^2=a$.

Die Nullstellenform der Funktion $f$ lautet also:

$f(x)=1\cdot (x+3{)}^2=(x+3{)}^2$.