Bestimmung der Nullstellenform am Graphen

(Verwende wieder das oben beschriebene Schema:)

Zuerst sind die Nullstellen des Graphen zu bestimmen. Du siehst, dass genau eine Nullstelle $x_1=-3x\_1=-3$ existiert, deren Vielfachheit $22$ ist. Es liegt also der 2. Fall vor und die Funktionsgleichung ist von der Form

$f(x)=a\cdot (x-(-3){)}^2=a\cdot (x+3{)}^{2}f(x)=a\backslash cdot\; (x-(-3))^2=a\backslash cdot(x+3)^2$

mit dem Öffnungsfaktor $aa$.

Als nächstes ist der Öffnungsfaktor $aa$ zu bestimmen. Dafür kannst du zwischen zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen wählen:

1. Variante

2. Variante

Abgesehen von $aa$ kannst du die Nullstellenform bereits abgeben. Sie lautet:

$f(x)=a\cdot (x+3{)}^{2}f(x)=a\backslash cdot\; (x+3)^2$

Setze jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist. Dann kannst die Gleichung nach $aa$ aufgelösen und erhältst so den gesuchten Öffnungsfaktor.

Wähle zum Beispiel den Punkt $P(-2\mathrm{\mid }1)P(-2|1)$: Dieser liegt auf dem Graphen und ist keine Nullstelle, weil die zweite Koordinate ungleich Null ist. Setze also $P(-2\mathrm{\mid }1)P(-2|1)$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $aa$ auf:

$1=f(-2)=a\cdot (-2+3{)}^2=a\cdot 1^2=a1=f(-2)=a\backslash cdot\; (-2+3)^2=\; a\backslash cdot\; 1^2=a$.

Die Nullstellenform der Funktion $ff$ lautet also:

$f(x)=1\cdot (x+3{)}^2=(x+3{)}^{2}f(x)=1\backslash cdot\; (x+3)^2=(x+3)^2$.