Gegeben ist der nebenstehende Graph der Funktion f. Bestimme die Funktionsgleichung in Nullstellenform.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform
Bestimmung der Nullstellenform am Graphen
(Verwende wieder das oben beschriebene Schema:)
Zuerst sind die Nullstellen des Graphen zu bestimmen. Du siehst, dass genau eine Nullstelle x1=−3 existiert, deren Vielfachheit 2 ist. Es liegt also der 2. Fall vor und die Funktionsgleichung ist von der Form
f(x)=a⋅(x−(−3))2=a⋅(x+3)2
mit dem Öffnungsfaktor a.
Als nächstes ist der Öffnungsfaktor a zu bestimmen. Dafür kannst du zwischen zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen wählen:
1. Variante
Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt S(−3∣0) und dem Punkt P(−2∣1) abgelesen werden.
Du erhältst a=1.
Die Nullstellenform der Funktion f lautet also:
f(x)=1⋅(x+3)2=(x+3)2
2. Variante
Abgesehen von a kannst du die Nullstellenform bereits abgeben. Sie lautet:
f(x)=a⋅(x+3)2
Setze jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist. Dann kannst die Gleichung nach a aufgelösen und erhältst so den gesuchten Öffnungsfaktor.
Wähle zum Beispiel den Punkt P(−2∣1): Dieser liegt auf dem Graphen und ist keine Nullstelle, weil die zweite Koordinate ungleich Null ist. Setze also P(−2∣1) in die Funktionsgleichung ein und löse nach a auf:
1=f(−2)=a⋅(−2+3)2=a⋅12=a.
Die Nullstellenform der Funktion f lautet also:
f(x)=1⋅(x+3)2=(x+3)2.