Gruppe A - lernen mit Serlo!

Hannah erklärt Simon, wie man schrittweise die Quadratzahlen berechnen kann.„Wenn du zum Beispiel 8²=64 berechnet hast, geht die Berechnung der nächsten Quadratzahl ganz einfach. Du musst nur zur ‚alten‘ Quadratzahl 64 die ‚alte‘ Basis 8 und die‚neue‘ Basis 9 addieren, also 64 + 8 + 9 = 81, und das ist das Quadrat von 9.“

Wende Hannahs Regel auf ein weiteres Zahlenbeispiel an. (1 BE)

Für diese Aufgabe gibt es mehrere Lösungen, zum Beispiel
$1^2 =1$
$4^2=16$
$9^2=81$
$1+1+2=4$
$16+4+5=25$
$81+9+10=100$
$4=2^2$
$25=5^2$
$100=10^2$
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$1^2 =1$	$4^2=16$	$9^2=81$
$1+1+2=4$	$16+4+5=25$	$81+9+10=100$
$4=2^2$	$25=5^2$	$100=10^2$

Begründe durch eine allgemeine Rechnung, dass Hannahs Regel für jede„alte“ Basis n (n $\in \mathbb{N}$ ) gilt. (2 BE)

$\displaystyle \left(n+1\right)^2$	$=$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle n^2+2\cdot n\cdot1+1^2$
	↓	Bringe auf die von Hannah gewünschte Form, in dem du $2n$ als $n+n$ schreibst.
	$=$	$\displaystyle n^2+n+n+1$
	↓	Setze die optionalen Klammern, um klar zu machen, dass die alte Zahl und ihr Nachfolger auf das Quadrat addiert werden.
	$=$	$\displaystyle n^2+n+\left(n+1\right)$

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