Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Ein gerader Kreiskegel hat den Radius r, die Höhe h und die Mantellinie m. Die Skizze zeigt den Kegel und ein zugehörigesStützdreieck.

Kreuze (nur) die richtigen Gleichungen an. (1 BE)
- $h^2=m^2-r^2$
- $m^2=h^2+r^2$
- $h^2=r^2+m^2$
- $m^2=h^2-r^2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Die Höhe $h$ steht senkrecht auf dem Radius $r$ . Das bedeutet, dass dort ein rechter Winkel ist. Somit kann der Satz des Pythagoras verwendet werden, um $m$ bzw. $h$ bzw. $r$ zu berechnen.
Die Katheten sind $r$ und $h$ und die Hypotenuse ist $m$ .
$m^2=h^2+r^2$
Das ist die erste Lösung, von der du durch Umformung auf die zweite Lösung kommst.
$\displaystyle m^2$ $=$ $\displaystyle h^2+r^2$ $\displaystyle -r^2$
$\displaystyle m^2-r^2$ $=$ $\displaystyle h^2$
$m^2 - r^2 = h^2$ ist die zweite Lösung.
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Für den Inhalt $A$ der Oberfläche des Kegels gilt die Formel $A=r\pi+r\pi m$ .
Gib für die beiden Summanden der Formel, $r^2\pi$ und $r\pi m$ , jeweils die Bedeutung für den Kegel an. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächenberechnung eines Kegels
$A_{Kreis}=r^2\pi$
$\Rightarrow$ Dies ist der Flächeninhalt des Kreises.
$A_{Mantelfläche} = r\pi m$
$\Rightarrow$ Das ist der Flächeninhalt der Mantelfläche.
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Löse die Formel $A=r^2\pi+r\pi m$ nach $m$ auf. (1 BE)

Die Größen $r$ und $m$ werden jeweils verdreifacht.

Dann … sich der Inhalt der Oberfläche des Kegels. (1 BE)

verneunfacht
verdreifacht
versechsfacht
verzwölffacht

2
Eine der steilsten Straßen der Welt ist die Filbert Streetin San Francisco. Bestimme mithilfe der Abbildungihre Steigung in Prozent. (2 BE)
Hinweis: Die Steigung einer Straße ist wie die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem festgelegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
Stelle dir vor, das Bild liegt im ersten Quadranten eines Koordinatensystems. Der linke untere Bildpunkt ist dann der Ursprung mit den Koordinaten $(0\vert0)$ .
Nun gib die Koordinaten für die beiden "Schnittpunkte" der Straße mit den Seitenkanten des Bildes an.
Die Höhe des Punktes entspricht der y-Koordinate und die Entfernung zum linken Bildrand der x-Koordinate.
$P_n$ (Abstand zum linken Bildrand $\vert$ Höhe des Punktes)
$P_1$ $(0\vert0{,}7)$
$P_2$ $(4{,}2\vert2{,}1)$
Die Formel zur Berechnung der Steigung ist:
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Nun setzt man die Werte ein und erhält folgendes:
$\displaystyle m=\frac{2{,}1-0{,}7}{4{,}2-0}$
Berechne die Differenzen:
$\displaystyle m=\frac{1{,}4}{4{,}2}$
Kürze mit $1{,}4$ :
$m=\frac 1 3$
Schreibe als Dezimalzahl, indem du die Rechnung $1:3$ ausführst, und rechne das Ergebnis in Prozent um:
$m\approx 0{,}33=33\%$
Das Ergebnis lautet also: Die Steigung der Straße beträgt ca. $33\%$ .
3
Im Jahr 2016 betrug der Gesamtwert der Importe Deutschlands 950 Mrd. €, der seiner Exporte1200 Mrd. €. Das Diagramm zeigt, wie sich diese Gesamtwerte auf Deutschlands Handelspartnerverteilten.
1. Berechne mithilfe der Daten des Diagramms, wie viel Prozent der Importe, dieDeutschland aus Europa bezog, auf die EU entfielen. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division
  Importe aus der EU
  Addiere die Importe aus der EU.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}38\% & + &20\% & =&58\% \\\uparrow & & \uparrow & & \uparrow\\\text{Eurozone}& &\text{uebrige EU}& & \text{Importe der EU}\end{array}$
  Addiere die Importe ganz Europas.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}38\% & + & 20\% & + & 12\% & = & 70\% \\\uparrow & \; & \uparrow & \; & \uparrow & \; & \uparrow\\\text{Eurozone} & \; & \text{uebrige EU} & \; & \text{übriges Europa} & \; & \text{Importe Europas}\end{array}$
  Bilde den Quotienten daraus.
  $\displaystyle\frac{58\%}{70\%}=\frac{58}{70}$
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2. Gib an, warum 4% von 1200 Mrd. € nicht den Betrag ergeben, um den sich der Wert der Exporte nach Amerika vom Wert der Importe aus Amerika unterscheidet. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwerte
  Unterschiedliche Grundwerte
  In dieser Aufgabe geht es um Prozente.
  Die $8\%$ beziehen sich auf den Gesamtwert der Importe Deutschlands. Die 950 Mrd. € sind der Grundwert.
  Die $12\%$ beziehen sich auf den Gesamtwert der Exporte Deutschlands. Die 1200 Mrd. € sind der Grundwert.
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3. Deutschland hatte 2016 etwa 82 Millionen Einwohner. Wie groß ist in etwa der Wert derdeutschen Exporte, der auf einen Einwohner entfiel? (1 BE)
  $15000 €$
  $150 €$
  $1500 €$
  $150000 €$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden
  Tipp: Mache eine Überschlagsrechnung, indem du die Werte rundest.
  Exporte pro Einwohner
  Um die Exporte pro Einwohner in € herauszufinden, musst du die Anzahl der Menschen durch den Betrag der Exporte teilen.
  Da du in dieser Aufgabe nur den Näherungswert bestimmen musst, kannst du auch eine Überschlagsrechnung, indem du rundest machen.
  Die $1\,200$ Milliarden € kannst du so lassen.
  Die $82$ Millionen Menschen kannst du auf ganze 10 Millionen genau runden:
  $82$ Millionen $\approx 80$ Millionen
  $\displaystyle\frac{1\,200\, \text{Milliarden}\, €}{80\, \text{Millionen}\,\text{Menschen}} =$
  Schreibe die Zahlen aus.
  $\displaystyle = \frac{1\,200\,000\,000\,000\, €}{80\,000\,000\,\text{Menschen}}$
  Streiche im Zähler und im Nenner gleich viele Nullen.
  $\displaystyle = \frac{120\,000\not0\not0\not0\not0\not0\not0\not0\, €}{8\not0\not0\not0\not0\not0\not0\not0\,\text{Menschen}}$
  $=\dfrac{120 000 \, €}{8\text{ Menschen}}$
  Kürze mit 4. (Hinweis: Du kannst auch direkt den Quotienten berechnen)
  $=\dfrac{30 000 \, €}{2 \text{ Menschen}}$
  Die Hälfte lässt sich leicht ausrechnen.
  $=15000 \dfrac €{\text{Mensch}}$
  Es entfielen etwa $15000\,$ € auf einen Einwohner.
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4
In Analogie zu einem Spielwürfel wird ein quaderförmiger Tafelschwamm geworfen.
Für das einmalige Werfen des Schwammes wurde experimentell folgendes Modell ermittelt:
Elementarereignis
"Eine der beiden größten Seitenflächen oben"
"Eine der beiden kleinsten Seitenflächen oben"
"Eine der beiden übrigen Seitenflächen oben"
Wahrscheinlichkeit
0,83
0,04
0,13
1. Beschreibe, wie man experimentell einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Der Tafelschwamm landet bei einmaligem Werfen so, dass eine der beiden kleinsten Seitenflächen oben liegt.” ermitteln kann. (1 BE)
  
  Experiment zur bestimmung von Wahrscheinlichkeiten
  Beispielsweise wirft man den Schwamm 100-mal und zählt, wie oft das Ereignis eintritt. Diese Zahl teilt man durch 100 und erhält so den gesuchten Schätzwert.
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2. Begründe anhand der Tabelle, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experimentist. (1 BE)
  
  Laplace-Experiment?
  Die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse sind nicht gleich groß, wie es bei Laplace-Experimenten sein muss.
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3. Der abgebildete Schwamm wird einmal geworfen. Gib ein Ereignis an, dessenWahrscheinlichkeit 87% beträgt. (1 BE)
  
  Wahrscheinlichkeiten addieren
  Zum Beispiel: "entweder eine der beiden größten Seiten oder eine der beiden kleinsten Seiten liegt oben"
  $83\% + 4\% = 87\%$
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4. Der abgebildete Schwamm wird zweimal geworfen. Kreuz an, mit welcher Wahrscheinlichkeitder Schwamm dabei nie auf eine der beiden größten Seitenflächen fällt. (1 BE)
  $(1-0{,}83)^2$
  $1-0{,}83$
  $1-0{,}83^2$
  $0{,}13^2 + 0{,}04^2$
  
  Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
  Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf der Schwamm nie auf eine der beiden größten Seiten fällt, musst du das Gegenereignis berechnen und von 1 abziehen.
  Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf nicht die zwei größten Seiten oben liegen, ist
  $1-0{,}83$ .
  Im folgenden Diagramm ist das Ereignis, dass der Schwamm auf eine der beiden größten Seiten fällt, $A$ . Das Gegenereignis ist $\overline{A}$ (sprich: "nicht A").
  Wie die 1.Pfadregel besagt, müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden.
  $(1-0{,}83)\cdot (1-0{,}83) = (1-0{,}83)²$
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Elementarereignis	"Eine der beiden größten Seitenflächen oben"	"Eine der beiden kleinsten Seitenflächen oben"	"Eine der beiden übrigen Seitenflächen oben"
Wahrscheinlichkeit	0,83	0,04	0,13

Gegeben ist die Parabel mit dem Funktionsterm p(x)=3x²-8x+7

(vgl. Abbildung)

$x_1$ und $x_2$ sind die Lösungen der Gleichung p(x)=7 .

Bestimme graphisch Näherungswerte für $x_1$ und $x_2$ .Gib an, wie man aus $x_1$ und $x_2$ den x-Wert desParabelscheitels ermitteln kann. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Du musst die Werte für $x_1$ und $x_2$ im Koordinatensystem auf der Höhe der 7 ablesen.
$x_1 \approx 0$
$x_2 \approx 2{,}7$
Zum Beispiel: Da Parabeln achsensymmetrisch sind, liegt der $x$ -Wert des Scheitels der Parabel genau in der Mitte der beiden $x$ -Werte.
$\Rightarrow$ $(x_1+x_2):2 = x_{Scheitel}$
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Bestimme rechnerisch die Lösungen $x_1$ und $x_2$ der Gleichung p(x)=7. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Diese Aufgabe kannst du lösen, wenn du weißt, wie man die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt.

$\displaystyle 3x^2-8x+7$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle -7$
$\displaystyle 3x^2-8x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	x ausklammern.
$\displaystyle x\left(3x-8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Nun kannst du die Nullstellen herausfinden, indem du einen Faktor gleich $0$ setzt.

Ist in einer Multiplikation ein Faktor $0$ , so ist auch das Produkt $0$ .

$\displaystyle 0\left(3x-8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$→x_1=0$
$\displaystyle \left(3x-8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}$
	↓	$\rightarrow x_2 = \displaystyle \frac {8}{3}$

Ein weiterer Lösungsweg

Für diese Aufgabe benötigst du die Lösungsformel quadratischer Gleichungen (Mitternachtsformel).

$p(x) = 3x^2 - 8x +7$

$p(x) = 7$

$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle 3x^2-8x+7$
	↓	Subtrahiere 7. $\rightarrow$ gleich $0$ gesetzt
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2-8x$
	↓	Jetzt kannst du die Lösungsformel quadratischer Gleichungen verwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	a, b und c einsetzen.

$a = 3$

$b = -8$

$c = 0$

$\displaystyle x_{1{,}2} =\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 3\cdot 0}}{2\cdot 3}$

$\displaystyle x_1 =\frac{8 - \sqrt {64}}{6}$

$\displaystyle x_2 = \frac {8 + \sqrt{64}}{6}$

$\displaystyle x_1 = \frac {0}{6} = 0$

$\displaystyle x_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

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Hannah erklärt Simon, wie man schrittweise die Quadratzahlen berechnen kann.„Wenn du zum Beispiel 8²=64 berechnet hast, geht die Berechnung der nächsten Quadratzahl ganz einfach. Du musst nur zur ‚alten‘ Quadratzahl 64 die ‚alte‘ Basis 8 und die‚neue‘ Basis 9 addieren, also 64 + 8 + 9 = 81, und das ist das Quadrat von 9.“

Wende Hannahs Regel auf ein weiteres Zahlenbeispiel an. (1 BE)

Für diese Aufgabe gibt es mehrere Lösungen, zum Beispiel
$1^2 =1$
$4^2=16$
$9^2=81$
$1+1+2=4$
$16+4+5=25$
$81+9+10=100$
$4=2^2$
$25=5^2$
$100=10^2$
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$1^2 =1$	$4^2=16$	$9^2=81$
$1+1+2=4$	$16+4+5=25$	$81+9+10=100$
$4=2^2$	$25=5^2$	$100=10^2$

Begründe durch eine allgemeine Rechnung, dass Hannahs Regel für jede„alte“ Basis n (n $\in \mathbb{N}$ ) gilt. (2 BE)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle r^2\pi+r\pi m$
	↓	$r$ und $\pi$ ausklammern.
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle r\pi\cdot\left(r+m\right)$	$\displaystyle :\left(r\pi\right)$
$\displaystyle \frac{A}{r\pi}$	$=$	$\displaystyle r+m$	$\displaystyle -r$
$\displaystyle \frac{A}{r\pi}-r$	$=$	$\displaystyle m$

$\displaystyle A_{neu}$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{#660099}{3r})^2\pi+\textcolor{#660099}{3r}\pi \cdot\textcolor{#ff6600}{3m}$
	$=$	$\displaystyle 9r^2\cdot\pi+9r\pi m$
	$=$	$\displaystyle 9\cdot\left(r^2\pi+r\pi m\right)$
	$=$	$\displaystyle 9\cdot A_{\text{alt}\ }$

$\displaystyle m^2$	$=$	$\displaystyle h^2+r^2$	$\displaystyle -r^2$
$\displaystyle m^2-r^2$	$=$	$\displaystyle h^2$

$\displaystyle \left(n+1\right)^2$	$=$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle n^2+2\cdot n\cdot1+1^2$
	↓	Bringe auf die von Hannah gewünschte Form, in dem du $2n$ als $n+n$ schreibst.
	$=$	$\displaystyle n^2+n+n+1$
	↓	Setze die optionalen Klammern, um klar zu machen, dass die alte Zahl und ihr Nachfolger auf das Quadrat addiert werden.
	$=$	$\displaystyle n^2+n+\left(n+1\right)$

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Importe aus der EU

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Unterschiedliche Grundwerte

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Exporte pro Einwohner

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Experiment zur bestimmung von Wahrscheinlichkeiten

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Laplace-Experiment?

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Wahrscheinlichkeiten addieren

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Wahrscheinlichkeiten multiplizieren

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Ein weiterer Lösungsweg

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