Umformung

Welche der drei Umformungen der Funktion $f(x)= \frac{ln(x)- 2x}{70}$ sind richtig? Schauen wir sie uns einmal genauer an:

Da im Nenner von $f$ kein $x$ vorkommt, können wir die $70$ als Kehrwert vor den Zähler schreiben:

Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $ln(x) -2x$ steht. So erhältst du:

Wenn du die Klammer ausmultiplizierst, erhältst du:

Damit sind die beiden Umformungen richtig:

• $f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left[ ln(x) -2x \right]$

• $f(x)= \frac{1}{70} \cdot ln(x) - \frac{1}{70} \cdot 2x$

Die andere Umformung $f(x) =\frac{1}{70} \cdot ln(x) - 2x$ ist aber falsch. Hier fehlt die Klammer!

Ableitung

Für die Ableitung kannst du einer der richtigen Umformungen verwenden:

Variante 1

$f(x)= \frac{1}{70} \cdot ln(x) - \frac{1}{70} \cdot 2x$

Bei einer Differenz kannst du jeden Teil einzeln ableiten (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung

wobei verwendet wurde, dass $\left(\log\left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}$.

Variante 2

$f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left[ ln(x) -2x \right]$

Du kannst die Differenz direkt ableiten und den Vorfaktor $\frac{1}{70}$ mitnehmen (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung $f'\left(x\right)=\frac{1}{70}\cdot\left[\frac{1}{x}-2\right]$ wobei wieder verwendet wurde, dass $\left(\log\left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}$.