Umformung

Welche der drei Umformungen der Funktion $f(x)=\frac{ln(x)-2x}{70}f(x)=\; \backslash frac\{ln(x)-\; 2x\}\{70\}$ sind richtig? Schauen wir sie uns einmal genauer an:

Da im Nenner von $ff$ kein $xx$ vorkommt, können wir die $7070$ als Kehrwert vor den Zähler schreiben:

Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $ln(x)-2xln(x)\; -2x$ steht. So erhältst du:

Wenn du die Klammer ausmultiplizierst, erhältst du:

Damit sind die beiden Umformungen richtig:

• $f(x)=\frac{1}{70}\cdot [ln(x)-2x]f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{70\}\; \backslash cdot\; \backslash left[\; ln(x)\; -2x\; \backslash right]$

• $f(x)=\frac{1}{70}\cdot ln(x)-\frac{1}{70}\cdot 2xf(x)=\; \backslash frac\{1\}\{70\}\; \backslash cdot\; ln(x)\; -\; \backslash frac\{1\}\{70\}\; \backslash cdot\; 2x$

Die andere Umformung $f(x)=\frac{1}{70}\cdot ln(x)-2xf(x)\; =\backslash frac\{1\}\{70\}\; \backslash cdot\; ln(x)\; -\; 2x$ ist aber falsch. Hier fehlt die Klammer!

Ableitung

Für die Ableitung kannst du einer der richtigen Umformungen verwenden:

Variante 1

$f(x)=\frac{1}{70}\cdot ln(x)-\frac{1}{70}\cdot 2xf(x)=\; \backslash frac\{1\}\{70\}\; \backslash cdot\; ln(x)\; -\; \backslash frac\{1\}\{70\}\; \backslash cdot\; 2x$

Bei einer Differenz kannst du jeden Teil einzeln ableiten (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung

wobei verwendet wurde, dass ${(\log \left(x\right))}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{x}\backslash left(\backslash log\backslash left(x\backslash right)\backslash right)\text{'}=\backslash frac\{1\}\{x\}$.

Variante 2

$f(x)=\frac{1}{70}\cdot [ln(x)-2x]f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{70\}\; \backslash cdot\; \backslash left[\; ln(x)\; -2x\; \backslash right]$

Du kannst die Differenz direkt ableiten und den Vorfaktor $\frac{1}{70}\backslash frac\{1\}\{70\}$ mitnehmen (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{70}\cdot [\frac{1}{x}-2]f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{70\}\backslash cdot\backslash left[\backslash frac\{1\}\{x\}-2\backslash right]$ wobei wieder verwendet wurde, dass ${(\log \left(x\right))}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{x}\backslash left(\backslash log\backslash left(x\backslash right)\backslash right)\text{'}=\backslash frac\{1\}\{x\}$.