Umformung

Wenn du den Funktionsterm umformst, wendest du das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an. Dabei musst du den Nenner im Ganzen betrachten und deshalb Klammern um den gesamten Nenner setzen. Die richtige Lösung ist somit $f(x)=[\sin (x)+\cos (x){]}^{-1}f(x)=[\backslash sin(x)+\backslash cos(x)]^\{-1\}$.

Die Antwortmöglichkeit $f(x)=\sin (x^{-1})+\cos (x^{-1})f(x)=\backslash sin(x^\{-1\})+\backslash cos(x^\{-1\})$ ist falsch, weil nur das $xx$ als Potenz geschrieben wurde. Man könnte den Term umformen zu $\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{x\}\backslash right)+\backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{x\}\backslash right)$. Das ist aber nicht das gleiche wie ${\displaystyle \frac{1}{\sin (x)+\cos (x)}}\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sin(x)+\backslash cos(x)\}$.

Die Antwortmöglichkeit $f(x)=\sin (x{)}^{-1}+\cos (x{)}^{-1}f(x)=\backslash sin(x)^\{-1\}+\backslash cos(x)^\{-1\}$ ist ebenfalls falsch, weil nur $\sin (x)\backslash sin(x)$ und $\cos (x)\backslash cos(x)$ als Potenz geschrieben wurden. Man könnte den Term umformen zu ${\displaystyle \frac{1}{\sin (x)}}+{\displaystyle \frac{1}{\cos (x)}}\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sin(x)\}+\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cos(x)\}$. Das ist aber nicht das gleiche wie ${\displaystyle \frac{1}{\sin (x)+\cos (x)}}\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sin(x)+\backslash cos(x)\}$.

Ableitung

Leite den vereinfachten Term mit Potenz- und Kettenregel ab.

$f(x)=[\sin (x)+\cos (x){]}^{-1}f(x)=[\backslash sin(x)+\backslash cos(x)]^\{-1\}$

Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion, hier $u\left(z\right)=z^{-1}u\backslash left(z\backslash right)=z^\{-1\}$ abgeleitet und die innere Funktion $v\left(x\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)v\backslash left(x\backslash right)=\backslash sin\backslash left(x\backslash right)+\backslash cos\backslash left(x\backslash right)$ eingesetzt und anschließend die innere Ableitung $v^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)v\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash cos\backslash left(x\backslash right)-\backslash sin\backslash left(x\backslash right)$ angehängt. Insgesamt ergibt sich: