${\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}}\backslash dfrac\{-3\backslash pm\{\backslash sqrt\{3^2-4\backslash cdot\; 1\backslash cdot\; 4\}\}\}\{2\backslash cdot1\}$

Erster Schritt ist, da wir hier eine quadratische Funktion vorliegen haben, Mitternachtsformel anwenden.

${\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{-7}}{2}}\backslash dfrac\{-3\backslash pm\backslash sqrt\{-7\}\}\{2\}$

Schritt Zwei die Diskriminante, also das was unter der Wurzel steht ausrechnen.

Diskriminante D = $-7-7$

Da die Diskriminante D hier negativ ist, folgt daraus das diese Funktion keine Nullstellen hat.

$3x^3+5x^2+x3x^3+5x^2+x$

Zu allererst schaust du dir an ob du eine Variable ausklammern kannst.

Bei dieser Funktion kannst du ein x ausklammern.

$x\cdot (3x^2+5x+1)x\backslash cdot(3x^2+5x+1)$

Jetzt überlegst du dir wann die Funktion Null wird.

Das Produkt zweier Faktoren wird genau dann Null wenn ein Faktor Null wird.

Für $x=0x=0$ folgt $0\cdot (0+0+1)=00\backslash cdot(0+0+1)=0$

Wie du siehst ist $x_1=0x\_1=0$ eine Nullstelle der Funktion.

$3x^2+5x+13x^2+5x+1$

Jetzt schaust du dir nur noch den Term in der Klammer an.

Dieser ist eine quadratische Funktion und quadratische Funktionen löst du mit der Mitternachtsformel.

${\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}}\backslash dfrac\{-5\backslash pm\backslash sqrt\{5^2-4\backslash cdot3\backslash cdot1\}\}\{2\backslash cdot3\}$

Mitternachtsformel anwenden

${\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{1}3}{6}}\backslash dfrac\{-5\backslash pm\backslash sqrt13\}\{6\}$

Diskriminante ausrechnen.

Wie du siehst ist die D positiv, daraus folgt es gibt zwei Lösungen für x

$x_{2\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{-5+\sqrt{13}}{6}}x\_\{2/3\}=\backslash dfrac\{-5+\backslash sqrt\{13\}\}\{6\}$ und ${\displaystyle \frac{-5-\sqrt{13}}{6}}\backslash dfrac\{-5-\backslash sqrt\{13\}\}\{6\}$

$x_1=0x\_\{1\}=0$ und $x_2={\displaystyle \frac{-5+\sqrt{13}}{6}}x\_\{2\}=\backslash dfrac\{-5+\backslash sqrt\{13\}\}\{6\}$ und $x_3={\displaystyle \frac{-5-\sqrt{13}}{6}}x\_\{3\}=\backslash dfrac\{-5-\backslash sqrt\{13\}\}\{6\}$

Die Funktion hat also 3 Nullstellen.

$x^2-12x+36x^2-12x+36$

Du kannst die Nullstellen natürlich auch mit der Mitternachtsformel lösen.

Allerdings kannst du dir viel Arbeit sparen, wenn du erkennst das hier die 2. binomische Formel steht.

$(x-6{)}^2(x-6)^2$

Jetzt musst du schauen wann die Klammer null wird.

Hier wird die Klammer für $x=6x=6$ Null.

$(x+3)\cdot (x-4)(x+3)\backslash cdot(x-4)$

Du kannst die Nullstellen ablesen.

$f(x)=4x^2-25f(x)=4x^2-25$

An dieser Stelle lässt sich die 3. binomische Formel anwenden.

$f(x)=(2x-5)\dot{(}2x+5)f(x)=(2x-5)\backslash dot(2x+5)$

Die Funktion steht jetzt in Faktorform da.

Jetzt schaust du dir die einzelnen Faktoren an.

Der erste Faktor: $(2x-5)(2x-5)$

An dieser Stelle setzt du den Term in der Klammer gleich Null.