Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Lerne mit diesen Aufgaben, die Nullstellen von quadratischen Funktionen zu bestimmen und wichtige Lösungsformeln anzuwenden!

1
Die PQ-Formel
1. Ziehe $p$ und $q$ an die richtige Stelle in der $p q$ -Formel.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: PQ-Formel
  Um die Gleichung $0 = x^{2} - 6 x + 9$ zu lösen, müssen wir $p$ und $q$ herauslesen und in die $p q$ -Formel einsetzen.
  $0 = x^{2} \underset{p}{\underset{⏟}{-𝟔}} x + \underset{q}{\underset{⏟}{𝟗}}$
  Eingesetzt in die Formel: $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  Lösung
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2. Berechne die Lösung der Gleichung $0 = x^{2} - 6 x + 9$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: PQ-Formel
  Die Gleichung lösen wir mithilfe der $p q$ -Formel.
  In Teilaufgabe (a) hast du bereits die richtigen Werte für $p$ und $q$ in die Formel eingesetzt. Hier ist die ganze Lösung:
  $x_{1,2}$ $=$ $- \frac{(- 6)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - 9}$
  ↓
  $- \frac{(- 6)}{2} = \frac{6}{2}$
  $=$ $\frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - 9}$
  ↓
  $(\frac{- 6}{2})^{2} = 9$
  $=$ $\frac{6}{2} \pm \sqrt{9 - 9}$
  $=$ $3$
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2
Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle $x = 2$ angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
1. $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
  Setze die Funktion gleich 0.
  $0 = x^{2} - 4 x + 6$
  Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.
  $D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = - 8 < 0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
  Setze für x den Wert 2 ein.
  $f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 4 x + 6 \\ = & x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 6 \\ = & (x - 2)^{2} + 2 \end{array}$
  Also handelt es sich bei $G_{f}$ um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel $S (2 | 2)$ .
  2. Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.
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2. $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  Setze die Funktion gleich 0.
  Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  $0 = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösung.
  $D = 1^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} = 1 - 3 = - 2 < 0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  Setze in x den Wert 2 ein.
  $f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + 1 \frac{1}{2} = 2 + 2 + 1 \frac{1}{2} = 5 \frac{1}{2}$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen von $f$ zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + 2 x) + 1 \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + 1 - 1) + 1 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} [(x + 1)^{2} - 1] + 1 \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} (x + 1)^{2} + 1 \end{array}$
  Damit handelt es sich bei $G_{f}$ um eine um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestauchte Normalparabel mit Scheitel $S (- 1 | 1)$ .
  2. Möglichkeit:
  Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.
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3. $f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
  Funktion gleich 0 setzen.
  $0 = - x^{2} + 5 x - 4$
  Diskriminante berechnen.
  $D = 5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 25 - 16 = 9 > 0$
  Daher gibt es zwei Nullstellen.
  $0 = - x^{2} + 5 x - 4$
  In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
  $x_{1,2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot (- 1)}$
  $x_{1} = \frac{- 5 + 3}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} = 1$
  $x_{2} = \frac{- 5 - 3}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$
  $\Rightarrow$ die Nullstellen sind $x_{1} = 1$ und $x_{2} = 4$ .
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
  $x = 2$ einsetzen.
  $f (2) = - 2^{2} + 5 \cdot 2 - 4 = - 4 + 10 - 4 = 2$
  Graphen zeichnen
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3
Bestimme die Nullstellen der verschobenen Parabeln.
1. $h_{1} : x \mapsto x^{2} - 64$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Setze die Funktion gleich $0$ .
  $x^{2} - 64$ $=$ $0$ $+ 64$
  $x^{2}$ $=$ $64$ $\sqrt{}$
  $x$ $=$ $\pm \sqrt{64}$
  $\Rightarrow x_{1} = + 8; x_{2} = - 8$
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2. $h_{2} : x \mapsto x^{2} - 2,25$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Setze die Funktion gleich $0$ .
  $x^{2} - 2,25$ $=$ $0$ $+ 2,25$
  $x^{2}$ $=$ $2,25$ $\sqrt{}$
  $x$ $=$ $\pm \sqrt{2,25}$
  $\Rightarrow x_{1} = + 1,5; x_{2} = - 1,5$
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3. $h_{3} : x \mapsto x^{2} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Setze die Funktion gleich $0$ .
  $x^{2} + 1$ $=$ $0$ $- 1$
  $x^{2}$ $=$ $- 1$
  Damit gibt es keine Nullstelle.
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4
Bestimme die Nullstellen von der Funktion $f (x) = (x + 1,5)^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
${(x + 1,5)}^{2}$ $=$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$(x + 1,5)^{2}$ $=$ $0$ $\sqrt{}$
$x + 1,5$ $=$ $0$ $- 1,5$
$x$ $=$ $- 1,5$
5
Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:
1. $x^{2} + 3 x + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
  Erster Schritt ist, da wir hier eine quadratische Funktion vorliegen haben, Mitternachtsformel anwenden.
  $\frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2}$
  Schritt Zwei die Diskriminante, also das was unter der Wurzel steht ausrechnen.
  Diskriminante D = $- 7$
  Da die Diskriminante D hier negativ ist, folgt daraus das diese Funktion keine Nullstellen hat.
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2. $3 x^{3} + 5 x^{2} + x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $3 x^{3} + 5 x^{2} + x$
  Zu allererst schaust du dir an ob du eine Variable ausklammern kannst.
  Bei dieser Funktion kannst du ein x ausklammern.
  $x \cdot (3 x^{2} + 5 x + 1)$
  Jetzt überlegst du dir wann die Funktion Null wird.
  Das Produkt zweier Faktoren wird genau dann Null wenn ein Faktor Null wird.
  Für $x = 0$ folgt $0 \cdot (0 + 0 + 1) = 0$
  Wie du siehst ist $x_{1} = 0$ eine Nullstelle der Funktion.
  $3 x^{2} + 5 x + 1$
  Jetzt schaust du dir nur noch den Term in der Klammer an.
  Dieser ist eine quadratische Funktion und quadratische Funktionen löst du mit der Mitternachtsformel.
  $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$
  Mitternachtsformel anwenden
  $\frac{- 5 \pm \sqrt{1} 3}{6}$
  Diskriminante ausrechnen.
  Wie du siehst ist die D positiv, daraus folgt es gibt zwei Lösungen für x
  $x_{2 / 3} = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{6}$ und $\frac{- 5 - \sqrt{13}}{6}$
  $x_{1} = 0$ und $x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{6}$ und $x_{3} = \frac{- 5 - \sqrt{13}}{6}$
  Die Funktion hat also 3 Nullstellen.
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3. $x^{2} - 12 x + 36$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $x^{2} - 12 x + 36$
  Du kannst die Nullstellen natürlich auch mit der Mitternachtsformel lösen.
  Allerdings kannst du dir viel Arbeit sparen, wenn du erkennst das hier die 2. binomische Formel steht.
  $(x - 6)^{2}$
  Jetzt musst du schauen wann die Klammer null wird.
  Hier wird die Klammer für $x = 6$ Null.
  Damit ist die Nullstelle der Funktion $x = 6$
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4. $(x + 3) \cdot (x - 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  Die Funktion steht in Faktorform da.
  $(x + 3) \cdot (x - 4)$
  Du kannst die Nullstellen ablesen.
  Die Funktion besitzt zwei Nullstellen bei $x_{1} = 4$ und $x_{2} = - 3$
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5. $4 x^{2} - 25$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  In der Funktion findest du die 3. binomische Formel.
  $f (x) = 4 x^{2} - 25$
  An dieser Stelle lässt sich die 3. binomische Formel anwenden.
  $f (x) = (2 x - 5) \dot{(} 2 x + 5)$
  Die Funktion steht jetzt in Faktorform da.
  Jetzt schaust du dir die einzelnen Faktoren an.
  Der erste Faktor: $(2 x - 5)$
  An dieser Stelle setzt du den Term in der Klammer gleich Null.
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6. $- 100 + x^{2}$
  
  $- 100 + x^{2}$ $=$ $0$
  ↓
  $+ 100$
  $x^{2}$ $=$ $100$
  ↓
  Wurzelziehen
  $x$ $=$ $\pm 10$
  Also sind die Nullstellen $x_{1} = - 10$ und $x_{2} = 10$ .
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7. $x^{2} + 6 x + 1$
6
Bestimme durch geschicktes Rechnen die Nullstellen der folgenden Funktionen:
1. $f (x) = x^{2} - 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  In dieser Aufgabe bestimmst du die Nullstellen der Funktion $f (x)$ , setzte dazu $f (x) = 0$ und löse nach $x$ auf
  $f (x)$ $=$ $x^{2} - 4$ $+ 4$
  $x^{2} - 4$ $=$ $0$
  $4$ $=$ $x^{2}$ $\sqrt{}$
  $\pm \sqrt{4}$ $=$ $x_{1,2}$
  $\pm 2$ $=$ $x_{_{1,2}}$
  Die Nullstellen der Funktion $f (x)$ sind $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 2$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{(- 6)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - 9}$
	↓	$- \frac{(- 6)}{2} = \frac{6}{2}$
	$=$	$\frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - 9}$
	↓	$(\frac{- 6}{2})^{2} = 9$
	$=$	$\frac{6}{2} \pm \sqrt{9 - 9}$
	$=$	$3$

$x^{2} - 64$	$=$	$0$	$+ 64$
$x^{2}$	$=$	$64$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{64}$

$x^{2} - 2,25$	$=$	$0$	$+ 2,25$
$x^{2}$	$=$	$2,25$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{2,25}$

${(x + 1,5)}^{2}$	$=$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$(x + 1,5)^{2}$	$=$	$0$	$\sqrt{}$
$x + 1,5$	$=$	$0$	$- 1,5$
$x$	$=$	$- 1,5$

$- 100 + x^{2}$	$=$	$0$
	↓	$+ 100$
$x^{2}$	$=$	$100$
	↓	Wurzelziehen
$x$	$=$	$\pm 10$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4$	$+ 4$
$x^{2} - 4$	$=$	$0$
$4$	$=$	$x^{2}$	$\sqrt{}$
$\pm \sqrt{4}$	$=$	$x_{1,2}$
$\pm 2$	$=$	$x_{_{1,2}}$

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Die PQ-Formel

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Funktionswert an der Stelle x = 2

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