Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Lerne mit diesen Aufgaben, die Nullstellen von quadratischen Funktionen zu bestimmen und wichtige Lösungsformeln anzuwenden!

Die PQ-Formel

Ziehe $p$ und $q$ an die richtige Stelle in der $p q$ -Formel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: PQ-Formel
Um die Gleichung $0 = x^{2} - 6 x + 9$ zu lösen, müssen wir $p$ und $q$ herauslesen und in die $p q$ -Formel einsetzen.
$\displaystyle 0=x^2\underbrace{\color{darkgreen}\textbf{-6}\color{black}}_{p}x+\underbrace{\color{darkgreen}\textbf{9}\color{black}}_{q}$
Eingesetzt in die Formel: $x_{1{,}2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
Lösung
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Berechne die Lösung der Gleichung $0 = x^{2} - 6 x + 9$

2
Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle $x = 2$ angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
1. $f\left(x\right)=x^2-4x+6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f\left(x\right)=x^2-4x+6$
  Setze die Funktion gleich 0.
  $0 = x^{2} - 4 x + 6$
  Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.
  $D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot6=16-24=-8<0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f\left(x\right)=x^2-4x+6$
  Setze für x den Wert 2 ein.
  $f\left(2\right)=2^2-4\cdot2+6=4-8+6=2$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2-4x+6\\&=&x^2-4x+4-4+6\\&=&(x-2)^2+2\end{array}$
  Also handelt es sich bei $G_{f}$ um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel $S (2 ∣ 2)$ .
  2. Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.
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2. $f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12$
  Setze die Funktion gleich 0.
  Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  $0=\frac12x^2+x+1\frac12$
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösung.
  $D=1^2-4\cdot\frac12\cdot1\frac12=1-3=-2<0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12$
  Setze in x den Wert 2 ein.
  $f\left(2\right)=\frac12\cdot2^2+2+1\frac12=2+2+1\frac12=5\frac12$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen von $f$ zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f(x)=\frac12x^2+x+1\frac12=\frac12(x^2+2x)+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x^2+2x+1-1)+1\frac12=\frac12\lbrack(x+1)^2-1\rbrack+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x+1)^2+1\end{array}$
  Damit handelt es sich bei $G_{f}$ um eine um den Faktor $\frac12$ gestauchte Normalparabel mit Scheitel $S (- 1 ∣ 1)$ .
  2. Möglichkeit:
  Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.
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3. $f\left(x\right)=-x^2+5x-4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f\left(x\right)=-x^2+5x-4$
  Funktion gleich 0 setzen.
  $0 = - x^{2} + 5 x - 4$
  Diskriminante berechnen.
  $D=5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=25-16=9>0$
  Daher gibt es zwei Nullstellen.
  $0 = - x^{2} + 5 x - 4$
  In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
  $x_{1{,}2}=\frac{-5\pm\sqrt9}{2\cdot\left(-1\right)}$
  $x_1=\frac{-5+3}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$
  $x_2=\frac{-5-3}{-2}=\frac{-8}{-2}=4$
  $\;\;\Rightarrow$ die Nullstellen sind $x_{1} = 1$ und $x_{2} = 4$ .
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f\left(x\right)=-x^2+5x-4$
  $x = 2$ einsetzen.
  $f\left(2\right)=-2^2+5\cdot2-4=-4+10-4=2$
  Graphen zeichnen
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Bestimme die Nullstellen der verschobenen Parabeln.

$h_1:\;x\mapsto x^2-64$

$h_2\colon x\mapsto x^2-2{,}25$

$h_3:\;x\mapsto x^2+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Setze die Funktion gleich $0$ .
$\displaystyle x^2+1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle -1$
Damit gibt es keine Nullstelle.
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Bestimme die Nullstellen von der Funktion $f(x)=(x+1{,}5)^2$ .

5
Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:
1. $x^{2} + 3 x + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $\dfrac{-3\pm{\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 4}}}{2\cdot1}$
  Erster Schritt ist, da wir hier eine quadratische Funktion vorliegen haben, Mitternachtsformel anwenden.
  $\dfrac{-3\pm\sqrt{-7}}{2}$
  Schritt Zwei die Diskriminante, also das was unter der Wurzel steht ausrechnen.
  Diskriminante D = $- 7$
  Da die Diskriminante D hier negativ ist, folgt daraus das diese Funktion keine Nullstellen hat.
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2. $3 x^{3} + 5 x^{2} + x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $3 x^{3} + 5 x^{2} + x$
  Zu allererst schaust du dir an ob du eine Variable ausklammern kannst.
  Bei dieser Funktion kannst du ein x ausklammern.
  $x\cdot(3x^2+5x+1)$
  Jetzt überlegst du dir wann die Funktion Null wird.
  Das Produkt zweier Faktoren wird genau dann Null wenn ein Faktor Null wird.
  Für $x = 0$ folgt $0\cdot(0+0+1)=0$
  Wie du siehst ist $x_{1} = 0$ eine Nullstelle der Funktion.
  $3 x^{2} + 5 x + 1$
  Jetzt schaust du dir nur noch den Term in der Klammer an.
  Dieser ist eine quadratische Funktion und quadratische Funktionen löst du mit der Mitternachtsformel.
  $\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3}$
  Mitternachtsformel anwenden
  $\dfrac{-5\pm\sqrt13}{6}$
  Diskriminante ausrechnen.
  Wie du siehst ist die D positiv, daraus folgt es gibt zwei Lösungen für x
  $x_{2/3}=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}$ und $\dfrac{-5-\sqrt{13}}{6}$
  $x_{1}=0$ und $x_{2}=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}$ und $x_{3}=\dfrac{-5-\sqrt{13}}{6}$
  Die Funktion hat also 3 Nullstellen.
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3. $x^{2} - 12 x + 36$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $x^{2} - 12 x + 36$
  Du kannst die Nullstellen natürlich auch mit der Mitternachtsformel lösen.
  Allerdings kannst du dir viel Arbeit sparen, wenn du erkennst das hier die 2. binomische Formel steht.
  $(x - 6)^{2}$
  Jetzt musst du schauen wann die Klammer null wird.
  Hier wird die Klammer für $x = 6$ Null.
  Damit ist die Nullstelle der Funktion $x = 6$
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4. $(x+3)\cdot(x-4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  Die Funktion steht in Faktorform da.
  $(x+3)\cdot(x-4)$
  Du kannst die Nullstellen ablesen.
  Die Funktion besitzt zwei Nullstellen bei $x_{1}=4$ und $x_{2}=-3$
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5. $4 x^{2} - 25$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  In der Funktion findest du die 3. binomische Formel.
  $f (x) = 4 x^{2} - 25$
  An dieser Stelle lässt sich die 3. binomische Formel anwenden.
  $f(x)=(2x-5)\dot(2x+5)$
  Die Funktion steht jetzt in Faktorform da.
  Jetzt schaust du dir die einzelnen Faktoren an.
  Der erste Faktor: $(2 x - 5)$
  An dieser Stelle setzt du den Term in der Klammer gleich Null.
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6. $- 100 + x^{2}$
  
  $\displaystyle -100+x^2$ $=$ $\displaystyle 0$
  ↓
  $+ 100$
  $\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle 100$
  ↓
  Wurzelziehen
  $\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \pm 10$
  Also sind die Nullstellen $x_{1} = - 10$ und $x_{2} = 10$ .
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7. $x^{2} + 6 x + 1$

Bestimme durch geschicktes Rechnen die Nullstellen der folgenden Funktionen:

$f (x) = x^{2} - 4 f(x)=x²-4$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{\left(-6\right)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-9}$
	↓	$-\frac{(-6)}{2}=\frac62$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-9}$
	↓	$(\frac{-6}{2})^2=9$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{2}\pm\sqrt{9-9}$
	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle \pm\sqrt{4}$	$=$	$\displaystyle x_{1{,}2}$
$\displaystyle \pm2$	$=$	$\displaystyle x_{_{1{,}2}}$

$\displaystyle x^2-64$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +64$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 64$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{64}$

$\displaystyle x^2-2{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}25$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 2{,}25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2{,}25}$

$\displaystyle x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle \left(x+1{,}5\right)^2$	$=$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle (x+1{,}5)^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+1{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}5$

$\displaystyle -100+x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$+ 100$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	Wurzelziehen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm 10$

Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Die PQ-Formel

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Funktionswert an der Stelle x = 2

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Funktionswert an der Stelle x = 2

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Funktionswert an der Stelle x = 2

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