Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle $x = 2$ angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

$f (x) = x^{2} - 4 x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
Setze die Funktion gleich 0.
$0 = x^{2} - 4 x + 6$
Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.
$D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = - 8 < 0$
Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
Funktionswert an der Stelle x = 2
$f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
Setze für x den Wert 2 ein.
$f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$
Graphen zeichnen
Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:
1. Möglichkeit: Scheitelform
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 4 x + 6 \\ = & x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 6 \\ = & (x - 2)^{2} + 2 \end{array}$
Also handelt es sich bei $G_{f}$ um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel $S (2 | 2)$ .
2. Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.
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$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
Setze die Funktion gleich 0.
Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
$0 = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösung.
$D = 1^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} = 1 - 3 = - 2 < 0$
Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
Funktionswert an der Stelle x = 2
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
Setze in x den Wert 2 ein.
$f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + 1 \frac{1}{2} = 2 + 2 + 1 \frac{1}{2} = 5 \frac{1}{2}$
Graphen zeichnen
Um den Graphen von $f$ zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.
1. Möglichkeit: Scheitelform
$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + 2 x) + 1 \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + 1 - 1) + 1 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} [(x + 1)^{2} - 1] + 1 \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} (x + 1)^{2} + 1 \end{array}$
Damit handelt es sich bei $G_{f}$ um eine um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestauchte Normalparabel mit Scheitel $S (- 1 | 1)$ .
2. Möglichkeit:
Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.
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$f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
Funktion gleich 0 setzen.
$0 = - x^{2} + 5 x - 4$
Diskriminante berechnen.
$D = 5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 25 - 16 = 9 > 0$
Daher gibt es zwei Nullstellen.
$0 = - x^{2} + 5 x - 4$
In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
$x_{1,2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot (- 1)}$
$x_{1} = \frac{- 5 + 3}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} = 1$
$x_{2} = \frac{- 5 - 3}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$
$\Rightarrow$ die Nullstellen sind $x_{1} = 1$ und $x_{2} = 4$ .
Funktionswert an der Stelle x = 2
$f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
$x = 2$ einsetzen.
$f (2) = - 2^{2} + 5 \cdot 2 - 4 = - 4 + 10 - 4 = 2$
Graphen zeichnen
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Funktionswert an der Stelle x = 2

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