Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Berechne die Ableitung mit Summen-, Produkt und Kettenregel und überprüfe.Welches Verfahren bietet sich am ehesten an?

${f(x)=(-x-3)}^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

In dieser Aufgabe soll an der folgenden Funktion $f(x)=(-x-3)^2$ gezeigt werden, dass es sich lohnt zu überlegen, mit welcher Methode man am besten ableitet.

Lösen über Summenregel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x-3\right)^2$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle x^2+6x+9$
	↓	Leite mithilfe der Summenregel ab.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x+6$

Lösen über Poduktregel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x-3\right)^2$
	↓	Schreibe als Produkt.
	$=$	$\displaystyle \left(-x-3\right)\cdot\left(-x-3\right)$

Leite mithilfe der Produktregel ab.

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x-3\right)´\cdot\left(-x-3\right)+\left(-x-3\right)\cdot\left(-x-3\right)´$
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-x-3\right)+\left(-x-3\right)\cdot\left(-1\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle x+3+x+3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2x+6$

Lösen über Kettenregel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x-3\right)^2$
	↓	Leite mithilfe der Kettenregel ab.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(-x-3\right)\cdot\left(-1\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \left(-2x-6\right)\cdot\left(-1\right)$
	$=$	$\displaystyle 2x+6$

Fazit

Für quadratische Funktionen ist sowohl die Verwendung der Summenregel als auch der Kettenregel sinnvoll, da der Aufwand ungefähr gleich hoch ist.

Die Produktregel hat mehr Rechenschritte und somit ein höheres Fehlerpotenzial.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$f(x)={(-x+2y)}^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Lösen über Summenregel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x+2y\right)^3$
	$=$	$\displaystyle \left(-x+2y\right)^2\cdot\left(-x+2y\right)$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(x^2-4xy+4y^2\right)\cdot\left(-x+2y\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle -x^3+4x^2y-4xy^2+2x^2y-8xy^2+8y^3$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle -x^3+6x^{2y}-12xy^2+8y^3$

Den letzten Term $-x^3+6x^2y-12xy^2+8y^3$ leiten wir nun mithilfe der Summenregel ab:

$f'(x) = -3x^2+12xy-12y^2$

Lösen über Produktregel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x+2y\right)^3$
	↓	Schreibe als Produkt.
	$=$	$\displaystyle \left(-x+2y\right)\cdot\left(-x+2y\right)\cdot\left(-x+2y\right)$
	↓	Leite mithilfe der Produktregel ab.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x+2y\right)´\cdot\left(-x+2y\right)\cdot\left(-x+2y\right)+\left(-x+2y\right)\cdot\left(-x+2y\right)´\cdot\left(-x+2y\right)+\left(-x+2y\right)\left(-x+2y\right)\cdot\left(-x+2y\right)$
	↓	Leite mithilfe der Produktregel ab.
	$=$	$\displaystyle \left(-x+2y\right)´\cdot\left(-x+2y\right)\cdot\left(-x+2y\right)\cdot3$
	↓	Leite ab.
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-x+2y\right)\cdot\left(-x+2y\right)\cdot3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -3\left(-x+2y\right)^2$

Lösen über Kettenregel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x+2y\right)^3$
	↓	Leite mithilfe der Kettenregel ab.
	$=$	$\displaystyle 3\left(-x+2y\right)^2\cdot\left(-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -3\left(-x+2y\right)^2$

Fazit

Bei Funktionen 3. Grades ist die Rechnung zur Ableitung sowohl mit Hilfe der Summenregel als auch der Produktregel sehr lang, wodurch man schnell den Überblick verlieren kann und dadurch Vorzeichenfehler auftreten können.

Die Kettenregel hingegen ist leichter anzuwenden und somit die Regel, die sich bei diesen Funktionen am meisten anbietet.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇