In der Aufgabe musst du die stochastische Abhängigkeit zweier Ereignisse begründen und benötigst die Binomialverteilung einer Zufallsgröße und deren kumulative Verteilungsfunktion anwenden.

Lösung Teilaufgabe a)

Betrachtet werden im Sachzusammenhang der Geschwindigkeitskontrolle folgende Ereignisse:

A: "Der Fahrer war allein unterwegs."

B: "Der Pkw war zu schnell."

Dem gezeichneten Diagramm und der Textangabe entnimmst du schrittweise folgende Informationen über Wahrscheinlichkeitswerte:

1. Schneller als die erlaubten $80\,\text{km/h}$ fuhren $76+18=94$ Fahrzeuge. Somit gilt: $P(\mathrm{S})=\frac{94}{200}=0{,}47$.

2. $P(\mathrm{A})=0{,}62$

3. "$\text{65 der Alleinfahrer fuhren zu schnell}$" bedeutet:$P(\mathrm{A}\cap \mathrm{S})=\frac{65}{200}=0{,}325$.

Zum formalen Nachweis der stochastischen Abhängigkeit der beiden Ereignisse $\mathrm{A}$ und $\mathrm{S}$ brauchst du - zeitlich wenig aufwendig - nur nachzurechnen, dass gilt:

$P(\mathrm{A}) \cdot P(\mathrm{S}) \neq P(\mathrm{A}\cap\mathrm{S})$.

Wegen

$0{,}62\cdot 0{,}47=0{,}2914\color{red}{\neq} 0{,}325$

sind die Ereignisse $\mathrm{A}$ und $\mathrm{S}$ tatsächlich stochastisch abhängig.

Einen guten Zugang zu einer möglichen Begründung der Abhängigkeit der Ereignisse $\mathrm{A}$ und $\mathrm{S}$ im Sachzusammenhang der Aufgabenstellung liefert die Betrachtung der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(\mathrm{S}|\mathrm{A})$, also dem Anteil der Zuschnellfahrer unter dem Alleinfahrern.

Hier gilt:

Wegen $\underbrace{0{,}62}_{P(A)} \cdot \underbrace{0{,}47}_{P(S)}\color{red}{<}\underbrace{0{,}325}_{P(A\cap S)}$ folgt

$\quad\quad\quad\underbrace{P(S)}_{0{,}47}\color{red}{<}\displaystyle \frac{P(A \cap S)}{P(A)}=\underbrace{P(S|A)}_{\approx 0{,}52}$

Interpretation:

Der Anteil der "Zu-schnell-Fahrer" unter den Alleine-Fahrern ist größer als der Anteil aller Zu-schnell-Fahrer.

Dies könnte seine Erklärung wohl darin finden, dass es einem Fahrer unter den Augen eines Beifahrers schwerer fällt, eine "Gesetzesübertretung" zu begehen, als wenn er alleine ist.

Lösung Teilaufgabe b)

Für die linke der beiden mittleren Geschwindigkeitsklassen im gegebenen Diagramm ergibt sich die Klassenwahrscheinlichkeit

$P(75<v\leq80)=\frac{80}{200}=0{,}4$.

Nach der Angabe im Aufgabentext sei $X$ die nach $B(100;0{,}8)$ binomialverteilte Zufallsgröße, welche die auf km/h genau gemessene Geschwindigkeit beschreibt.

Dann gilt für $X\in\, ]75;80]$ folgende kumulative Verteilung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rcll}P_{0{,}8}^{100}(75<X\leq80) &= &P_{0{,}8}^{100}(x\leq80)-P_{0{,}8}^{100}(X\leq75)\quad&|\;\text{Tafelwerte einsetzen}\\&=&0{,}53984-0{,}13135\\&=&0{,}40849\end{array}$

Damit ist bestätigt, dass die in der Stichprobe ermittelte Anzahl der Fahrten der linken mittleren Geschwindigkeitsklasse mit der Beschreibung durch die Zufallsgröße $B(100;0{,}8)$ im Einklang steht.

Dies gilt auch für die rechte mittlere Geschwindigkeitsklasse des Diagramms.

Einerseits ist: $\quad P(80<v\leq85)=\frac{76}{200}=0{,}38$.

Andererseits gilt für die Zufallsgröße $X$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {r cll} P_{0{,}8}^{100}(80<X\leq85)&=&P_{0{,}8}^{100}(X\leq85)-P_{0{,}8}^{100}(X\leq80)&|\quad\text{Tafelwerte einsetzen}\\&=&0{,}91956-0{,}53984\\&=&0{,}37972\end{array}$

Man muss für eine volle Punktzahl nur aber nur eine der beiden Geschwindigkeitsklassen nachrechnen.

Lösung Teilaufgabe c)

Aus der Tafel der kumulativen Verteilungsfunktion der Binomialverteilung $B(100;0{,}80)$ ist bei zunehmenden Werten von $k$ derjenige Wert $k_0$ abzulesen, für den $P(X\leq k_0)$ (erstmals) größer ist als $0{,}95$.

Dieses $k_0$ ist die gesuchte kleinste Geschwindigkeit $v ^*$.

Dies liest du aus der Tafel ab:

$\quad P_{0{,}8}^{100}(X\leq k_0) >0{,}95\quad\Rightarrow \quad k_0=86$

Bei mehr als 95% der erfassten Fahrten wird die Geschwindigkeit $v^*=86\, \text{km/h}$ nicht überschritten.