Interpretation der Angabe

Bereits in der 1. Aufgabe war gegeben, dass die Geschwindigkeitsverteilung der Messungen näherungsweise durch die Binomialverteilung $B(100;0{,}8)$ beschrieben werden kann.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw größer als 83 km/h wird dann näherungsweise durch den Wert

erfasst.

Zur Vereinfachung darf bei der weiteren Behandlung der Aufgabe vom Wert $0{,}19$ ausgegangen werden.

Lösung Teilaufgabe a)

$X$ sei die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Tempoverstöße beschreibt. $X$ ist dann gemäß der Angabe nach $B(n;0{,}19)$ binomialverteilt.

Die Angabe "mindestens ein Tempoverstoß" bedeutet $X\geq 1$ und ist das Gegenereignis zu "kein Tempoverstoß", also zu $X=0$.

Damit ergibt sich folgende Ungleichung, die schrittweise nach der Unbekannten $n$ aufzulösen ist.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {r c l l}P_{0{,}19}^{n}(X\geq 1)&>&0{,}99&|\;\text{Gegenereignis heranziehen}\\\color{red}{1-}P_{0{,}19}^n (\color{red}{X=0})&>&0{,}99&|-1\\-P_{0{,}19}^n(X=0)&>&-0{,}01&|\cdot (-1)\;\text{Relationszeichen wechselt!}\\P_{0{,}19}^n(X=0)&\color{red}{<}&0{,}01&|\,\text{Formel für Bernoulli-Kette}\\\displaystyle \underbrace{\binom{n}{0}}_{1}\cdot \underbrace{{0{,}19}^0}_{1}\cdot(1-0{,}19)^{n-0}&<&0{,}01&|\,\text{Zusammenfassen}\\\color{red}{0{,}81}^n&<&0{,}01&|\,\text{Logarithmieren, z.B. mit ln}\\\color{red}{ln}(0{,}81)^n&<&\color{red}{ln}(0{,}01)&|\,\text{Es gilt:}\,log_ab^n=n\cdot log_ab\\\color{red}{n}\cdot ln(0{,}81)&<&ln(0{,}01)&|\,:ln(0{,}81)\color{red}{<}0\\&&&\;\Rightarrow\,\text{Relationszeichen wechselt!}\\n&\color{red}{>}&\displaystyle\frac{ln(0{,}01)}{ln(0{,}81)}\\n&\geq&21{,}86&|\;n\in\color{red}{\mathbb{N}}\end{array}$

Es müssen mindestens 22 Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens ein Tempoverstoß gemessen wird.

Lösung Teilaufgabe b)

Der Aufgabe liegt zunächst eine Zufallsgröße $X$ zugrunde, die binomial nach $B(50;0{,}19)$ verteilt ist und die Anzahl der Tempoverstöße ($v>\,83\,\text{km|h}$) misst.

Für den Erwartungswert$\;\mu$ von $X$ gilt:

$\mu=n\cdot p=50\cdot 0{,}19=9{,}5$

Die Standardabweichung$\;\sigma$ berechnet sich so:

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{50\cdot 0{,}19\cdot 0{,}81}\approx{2{,}77}$

Interpretation im bisherigen Sachzusammenhang

Die Polizei kann erwarten, dass ihr bei 50 Messungen 9 oder 10 Temposünder "ins Netz gehen". Falls plötzlich zu wenig "Raser" durch die Messstelle fahren, vermutet sie, dass die Autofahrer - wie und warum auch immer - vorm "Blitzen" gewarnt werden und bricht den Einsatz ab.

"Zufrieden" ist sie, wenn mindestens

$\mu-\sigma=9{,}5-2{,}77=6{,}73$,

also mindestens $7$ Tempoverstöße registriert werden.

Interpretation in einem neuen Sachzusammenhang

Wovon die Polizei nichts weiß: Es sind auf einmal weniger Temposünder unterwegs, nämlich nur noch $10\%$ statt $19\%$.

Ihre Entscheidungsregel, von der sie nicht abrückt, Fortführung der "Blitz-Aktion" falls $X\geq 7$, besitzt dann die Wahrscheinlichkeit $P_{\color{red}{{0{,}1}}}^{50}\left(X\geq 7\right)$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {cll}P_{0{,}1}^{50}\left(X\geq7\right)&=&1-P_{0{,}1}^{50}\left(X\leq6\right)&|\,\text{ Gegenereignis}\\&=&1-0{,}77023&|\,\text{Tafel benutzt}\\&=&0{,}22977\\&\approx&{23{,}0\%}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Geschwindigkeitskontrolle trotz Warnung fortgeführt wird, beträgt rund $23\%$.