Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.

$f(x)=g(x)$

$\frac12x^2+2x-10=-\frac12x^2+5$ $\left|+\frac12x^2\right.$

$x^2+2x-10=5$ $\left|-5\right.$

$x^2+2x-15=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man jetzt die Mitternachtsformel anwenden.

$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm8}{2}$

Somit ergeben sich die beiden x-Koordinaten: $x_1=-5$ und $x_2=3$

Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1$ :

$g(-5)=-\frac12\cdot(-5)^2+5=-7{,}5$

$=>S_1=(-5\vert-7{,}5)$

$x_2$ :

$g(3)=-\frac12\cdot3^2+5=0{,}5$

$=>S_2=(3\vert0{,}5)$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(-5\vert-7{,}5)$ und $S_2(3\vert0{,}5)$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzen und alles auf eine Seite bringen.

$e(x)=l(x)$

$2x^2-4x+1{,}9=x^2+0{,}1x-0{,}2$ $\left|-x^2\right.$

$x^2-4x+1{,}9=0{,}1x-0{,}2$ $\left|-0{,}1x\right.$

$x^2-4{,}1x+1{,}9=-0{,}2$ $\left|+0{,}2\right.$

$x^2-4{,}1x+2{,}1=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.

$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-(-4{,}1)\pm\sqrt{(-4{,}1)^2-4\cdot1\cdot2{,}1}}{2\cdot1}=\frac{4{,}1\pm2{,}9}{2}$

Somit ergeben sich die zwei $x$-Koordinaten:$x_1=3{,}5$ und $x_2=0{,}6$

Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1$ :

$l(3{,}5)=3{,}5^2+0{,}1\cdot3{,}5-0{,}2=12{,}4$

$=>\;S_1(3{,}5\vert12{,}4)$

$x_2$ :

$l(0{,}6)=0{,}6^2+0{,}1\cdot0{,}6-0{,}2=0{,}22$

$=>\;S_2(0{,}6\vert0{,}22)$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(3{,}5\vert12{,}4)$ und $S_2(0{,}6\vert0{,}22)$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc} r\left(x\right)&=& s\left(x\right)&\\\frac34x^2+2x-10&=& \frac14x^2+1{,}5x-4&\vert+4\\ \frac34x^2+2x-6&=&\frac14x^2+1{,}5x&\vert-1{,}5x\\\frac34x^2+0{,}5x-6 &=&\frac14x^2&\vert-\frac14x^2\\ \frac24x^2+0{,}5x-6&=&0\end{array}$

Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac24x^2+0{,}5x-6$.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.

$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-0{,}5\pm \sqrt{0{,}5^2-4\cdot\frac24\cdot(-6)}}{2\cdot\frac24}=\frac{-0{,}5\pm3{,}5}{1}$

$\displaystyle\Rightarrow x_1=3; x_2=-4$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccl}\mathrm s\left(3\right)&=&2{,}75&\Rightarrow\mathrm A\left(3\,|\,2{,}75\right)\\\mathrm s\left(-4\right)&=&-6&\Rightarrow\mathrm B\left(-4\,|\,-6\right)\end{array}$

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc} t\left(x\right)&=& u\left(x\right)&\\\frac{10}{9}x^2-\frac43x-11&=& x^2-2x-8&\vert+8\\ \frac{10}{9}x^2-\frac43x-3&=&x^2-2x&\vert+2x\\\frac{10}{9}x^2+\frac23x-3 &=&x^2&\vert-x^2\\ \frac{1}{9}x^2+\frac23x-3&=&0\end{array}$

Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac{1}{9}x^2+\frac23x-3$.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.

$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-\frac23\pm \sqrt{\frac23^2-4\cdot\frac19\cdot(-3)}}{2\cdot\frac19}=\frac{-\frac23\pm\frac43}{\frac29}$

$\displaystyle\Rightarrow x_1=3; x_2=-9$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccl} u\left(3\right)&=&-5&\Rightarrow\mathrm A\left(3\,|\,-5\right)\\ u\left(-9\right)&=&91&\Rightarrow\mathrm B\left(-9\,|\,91\right)\end{array}$