Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

…

Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren.

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\varphi$ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{v}\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot6+(-1)\cdot7+5\cdot2}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}\cdot\sqrt{6^2+7^2+2^2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{89}}$
	↓	Verwende den Gegenkosinus, um den Winkel zu ermitteln.

$\Rightarrow \varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{89}}\right)\approx73{,}1^\circ$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{12\cdot6+3\cdot0+4\cdot(-8)}{\sqrt{12^2+3^2+4^2}\cdot\sqrt{6^2+0^2+(-8^2)}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{13}$

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac4{13}\right)\approx72{,}1^\circ$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\cdot(-1)+3\cdot1+1\cdot(-2)}{\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{84}}$

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac3{\sqrt{84}}\right)\approx70{,}9^\circ$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot(-3)+(-2)\cdot3+(-4)\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+3^2+(-1)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-5}{\sqrt{399}}$

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{399}}\right)\approx104{,}5^\circ$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot8+(-4)\cdot1+0\cdot12}{\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}\cdot\sqrt{8^2+1^2+12^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{209}}$

$\Rightarrow \varphi= \cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{209}}\right)\approx 73{,}9^\circ$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot0+0\cdot0+(-1)\cdot(-3)}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+(-3)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{\sqrt2}$

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac1{\sqrt2}\right)=45^\circ$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot2+1\cdot8+9\cdot(-2)}{\sqrt{5^2+1^2+9^2}\cdot\sqrt{2^2+8^2+(-2)^2}}$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}(0)=90^{\circ}$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-5\cdot2+3\cdot8+9\cdot(-1)}{\sqrt{(-5)^2+3^2+9^2}\cdot\sqrt{2^2+8^2+(-1)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac5{\sqrt{115}\cdot\sqrt{69}}$

$\Rightarrow \varphi=\cos^{-1}\left(\frac5{\sqrt{115}\cdot\sqrt{69}}\right)\approx86{,}8^\circ$

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$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}$ und $\displaystyle\overrightarrow v=\begin{pmatrix}4\\-\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}4\\-\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}25\cdot4+3\cdot\left(-\frac23\right)+5\cdot0{,}2}{\sqrt{(0{,}25)^2+3^2+5^2}\cdot\sqrt{4^2+\left(-\frac23\right)^2+0{,}2^2}}$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\Rightarrow \varphi=\cos^{-1}\left(0\right)=90^\circ$

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