Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

1

Bestimme den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.

$\vec v = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$ und $\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ .
Diese setzst du ein und erhätst:
$\cos(\varphi) = \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}$
Löse die Formel nach $\varphi$ um:
$\ \varphi = \cos^{-1}\left( \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}\right)$
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
$\vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 9 \cdot 1 = 15$
$|\vec v| \cdot |\vec w| = (\sqrt{3^2 + 9^2}) \cdot (\sqrt{2^2 + 1^2})$
$= \sqrt{90} \cdot \sqrt{5}$
$= 15\sqrt{2}$
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
$\displaystyle \ \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{15}{15\sqrt{2}} \right)$
Also beträgt der Schnittwinkel $\ \varphi = 45^\circ$ .
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$\vec v = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}$ und $\ \vec w = \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
$\displaystyle \cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}$
In unserem Fall hast du die beiden Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$ . Diese setzst du ein und erhältst:
$\cos(\varphi) = \frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}\right|}$
$\,$
Löse die Formel nach $\varphi$ auf:
$\ \varphi = \cos^{-1}\left( \frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}\right|}\right)$
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
$\vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix} = -6$
$|\vec v| \cdot |\vec w|$
$= (\sqrt{6^2 + 0^2}) \cdot (\sqrt{(-1)^2 + (-3)^2})$
$= 6 \cdot \sqrt{10}$
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
$\ \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{-6}{6\sqrt{10}} \right)=\cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\right)=108{,}4^{\circ}$
Schließlich kommst du auf den gesuchten Winkel.
Also beträgt der Schnittwinkel $\varphi = 108{,}4^\circ$ .
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$\vec v = \begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix}$ und $\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}$ gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}= \frac{\begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}\right|} = \frac{(-5) \cdot 2 + (-22{,}5) \cdot 9}{\sqrt{(-5)^2 + (-22{,}5)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 9^2}}$
$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{-212{,}5}{2{,}5 \cdot \sqrt{85} \cdot \sqrt{85}} = -1$
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
$\displaystyle \varphi = \cos^{-1}(-1) = 180^\circ$
Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich $\vec v$ als $\vec v = k \cdot \vec w$ schreiben lässt, wobei $k$ eine reelle Zahl.
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$\vec v = \begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix}$ und $\ \vec w = \begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}$ gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}= \frac{\begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}\right|} = \frac{1{,}3 \cdot (-4{,}5) + (-2{,}4) \cdot 3}{\sqrt{1{,}3^2 + (-2{,}4)^2} \cdot \sqrt{(-4{,}5)^2 + 3^2}}$
$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{-13{,}05}{0{,}1 \cdot \sqrt{745} \cdot 1{,}5 \cdot \sqrt{13}} \approx -0{,}884$
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
$\displaystyle \varphi = \cos^{-1}(-0{,}884) = 152{,}13^\circ$
also beträgt der Winkel $\varphi = 152{,}13^\circ$ .
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$a=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ und $b=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt $0$ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Berechne das Skalarprodukt zwischen $\vec a$ und $\vec b$ !
$\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix} = 1 \cdot (-9)+ 3 \cdot 3 = -9+9 = 0$
Das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ ist also $0$ . Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also $\varphi=90^\circ$ .
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$a = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}$ und $\ b = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ . Berechne nun zunächst diese Größen!
Länge der Vektoren berechnen
Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\vec a$ mit sich selbst und $\vec b$ mit sich selbst:
$\vec a \circ \vec a =\begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix}= (-2)\cdot (-2) + 7\cdot 7 = 53$
$\vec b \circ \vec b =\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}= 5\cdot 5 + 3\cdot 3 = 34$
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{53}$ und $| \vec b | = \sqrt{\vec b \circ \vec b} = \sqrt{34}$
Skalarprodukt berechnen
Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$ .
Hier also:
$\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 = -10 + 21 = 11$
Das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ ist somit $11$ .
Winkel berechnen
Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
$\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)$
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
$\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{34}}\right)=74{,}98^\circ$
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt $\varphi =74{,}98^\circ$ .
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2

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

$\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.
$\vec a\circ\vec b =\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} =(-2)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)=2-2=0$
Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$ . Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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$\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}0.5\\-1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.
$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0{,}5\\-1\end{pmatrix} =6\cdot0{,}5+4\cdot\left(-1\right)=3-4=-1$
Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $- 1$ .Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.
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$\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.
$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b$ $=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} \odot$ $\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}$ = $2\pi\cdot\left(-3.5\right)+7\cdot \pi$ $=7\pi-7\pi=0$
Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$ .Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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$\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}\sqrt6\\-\sqrt3\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix}$

Orthogonalität von Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.
$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}\sqrt{6}\\-\sqrt{3}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix} =\sqrt{6}\cdot\sqrt2+(-\sqrt3)\cdot2=\sqrt{12 }-2\sqrt3$
Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.
Nebenrechnung: $2\sqrt3= \sqrt4 \cdot \sqrt3= \sqrt{4\cdot3}= \sqrt{12}$
Damit ergibt sich insgesamt: $\sqrt{12}-2\sqrt3= \sqrt{12} -\sqrt{12}= 0$
Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$ . Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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3

Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.

$\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ Null ist.
Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \circ \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{2} = 5 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 5$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v}\circ\vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot2+5\cdot(-1)+1\cdot5=0+(-5)+5=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{2} = - 4 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 4$ und $v_{3} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{2} = - v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 1$ und $v_{3} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$2 v_{2} = - 4 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = - 4$ und $v_{3} = 2$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{3} = 0$ annehmen, wegen $u_{3} = 0$ . Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{1} = 4 v_{2}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = - 4$ und $v_{2} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen, wegen $u_{2} = 0$ . Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot v_1+ 0\cdot 0 + (-1)\cdot v_3=v_1 - v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{1} = v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 1$ und $v_{2} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+ 0\cdot 0 + 1\cdot (-1) =1-1=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 5\\ 1\\9\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 5\cdot 0+ 1\cdot v_2 + 9\cdot v_3=v_2 + 9v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{2} = - 9 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = - 9$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 1\end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+ (-9)\cdot 1 + 1\cdot 9 =0+(-9)+9=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}-1\\3\\9\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-1)\cdot v_1+ 3\cdot 0 + 9\cdot v_3=-v_1 + 9v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{1} = 9 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 9$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+ 3\cdot0 + 1\cdot 9 =(-9)+0+9=0$
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$\vec u=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac56\\0.4\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 4\\ -\frac56\\0{,}4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 4\cdot v_1+ (-\frac56 )\cdot 0 + 0{,}4\cdot v_3=4v_1 + 0{,}4v_3$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{3} = - 10 v_{1}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 1$ und $v_{3} = - 10$ . Du erhältst also:
$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+ (-\frac 56 )\cdot0 + (-10)\cdot 0{,}4 =4+0-4=0$
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4

Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren.

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow u=\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}$ und $\displaystyle\overrightarrow v=\begin{pmatrix}4\\-\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}$

5

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ .

Berechne für den abgebildeten Würfel den Winkel $\alpha$ zwischen der Flächendiagonalen $\overline{CB}$ und der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Der Punkt $A$ des Würfels hat die Koordinaten $A (4 ∣ 4 ∣ 0)$ .

Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B (4 ∣ 4 ∣ 4)$ und $C$ hat die Koordinaten $C (0 ∣ 0 ∣ 4)$ .

Für den Vektor $\overrightarrow{CA}$ gilt:

$\overrightarrow{CA}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}$

Für den Betrag dieses Vektors folgt: $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{4^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{48}$

Für den Vektor $\overrightarrow{CB}$ gilt:

$\overrightarrow{CB}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}$

Für den Betrag dieses Vektors folgt: $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{4^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}$

Den Winkel $\alpha$ berechnest du mit:

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CA}\|\cdot \|\overrightarrow{CB}\|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{48}\cdot \sqrt{32}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und fasse die Wurzeln zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16+16+0}{\sqrt{1536}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{32}{\sqrt{1536}}$

Den Winkel $\alpha$ kannst du nun mit der Umkehrfunktion des Kosinus berechnen.

Wähle dazu auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos{}^{-1}$ .

$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \cos{}^{-1}{\left(\dfrac{32}{\sqrt{1536}}\right)}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 35{,}26^\circ$

Antwort: Der Winkel $\alpha$ zwischen der Flächendiagonalen $\overline{CB}$ und der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ beträgt etwa $35{,}26^\circ$ .

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Wie groß ist der Schnittwinkel $\beta$ der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ und $\overline{OB}$ ?

6

Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}$ , mit $t\in \mathbb {R}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}$ .

Für welche Werte von $t$ schließen die beiden Vektoren einen Winkel von $45^\circ$ ein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Es ist $\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .

Weiterhin gilt:

$\cos \alpha=\dfrac{\vec a\circ\vec b }{|\vec a|\cdot|\vec b|}\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix} }{\left|\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}\right|}$

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix} }{\left\|\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge.
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\cdot 6+0+4\cdot 6}{\sqrt{2^2+t^2+4^2}\cdot\sqrt{6^2+0^2+6^2}}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{\sqrt{20+t^2}\cdot\sqrt{2\cdot 36}}$
	↓	Ziehe die Wurzel und kürze.
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{20+t^2}\cdot\sqrt{2}}$	$\displaystyle \cdot \sqrt{2}$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{20+t^2}}$	$\displaystyle \cdot\sqrt{20+t^2}$
$\displaystyle \sqrt{20+t^2}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle 20+t^2$	$=$	$\displaystyle 36$	$\displaystyle -20$
$\displaystyle t^2$	$=$	$\displaystyle 16$

Die Gleichung $t^{2} = 16$ hat die Lösungen $t_{1} = - 4$ und $t_{2} = 4$ .

Antwort: Die beiden Vektoren $\vec a_1=\begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix}$ und $\vec a_2=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$ schließen mit dem Vektor $\vec b=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}$ einen Winkel von $45^\circ$ ein.

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung:

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$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\cdot(-1)+3\cdot1+1\cdot(-2)}{\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{84}}$

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot(-3)+(-2)\cdot3+(-4)\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+3^2+(-1)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-5}{\sqrt{399}}$

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot8+(-4)\cdot1+0\cdot12}{\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}\cdot\sqrt{8^2+1^2+12^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{209}}$

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot0+0\cdot0+(-1)\cdot(-3)}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+(-3)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{\sqrt2}$

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left\|\overrightarrow u\right\|\cdot\left\|\overrightarrow v\right\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot2+1\cdot8+9\cdot(-2)}{\sqrt{5^2+1^2+9^2}\cdot\sqrt{2^2+8^2+(-2)^2}}$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{v}\right\|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot6+(-1)\cdot7+5\cdot2}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}\cdot\sqrt{6^2+7^2+2^2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{89}}$
	↓	Verwende den Gegenkosinus, um den Winkel zu ermitteln.

$\displaystyle \cos{\beta}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{OB}}{\|\overrightarrow{CA}\|\cdot \|\overrightarrow{OB}\|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}}{\sqrt{48}\cdot \sqrt{48}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und berechne die Wurzeln.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16+16-16}{48}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{48}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle \cos{}^{-1}{\left(\dfrac{1}{{3}}\right)}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 70{,}53^\circ$

Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

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Orthogonalität von Vektoren

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