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Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Mit diesen gemischten Aufgaben lernst du, den Winkel zwischen Vektoren zu bestimmen. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Bestimme den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.

    1. v⃗=(39)\vec v = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} und  w⃗=(21)\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

    2. v⃗=(60)\vec v = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} und  w⃗=(−1−3)\ \vec w = \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}

    3. v⃗=(−5−22,5)\vec v = \begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix} und  w⃗=(29)\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}

    4. v⃗=(1,3−2,4)\vec v = \begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix} und  w⃗=(−4,53)\ \vec w = \begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}

    5. a=(13)a=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} und b=(−93)b=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}

    6. a=(−27)a = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} und  b=(53)\ b = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}

  2. 2

    Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

    1. a→=(−22)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}   und   b→=(−1−1)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}

    2. a→=(64)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} und b→=(0.5−1)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}0.5\\-1\end{pmatrix}

    3. a→=(2π7)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} und b→=(−3.5π)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}

    4. a→=(6−3)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}\sqrt6\\-\sqrt3\end{pmatrix} und b→=(22)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix}

  3. 3

    Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.

    1. u⃗=(2−15)\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

    2. u⃗=(1234)\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}

    3. u⃗=(−231)\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}

    4. u⃗=(1−2−4)\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}

    5. u⃗=(3−40)\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}

    6. u⃗=(10−1)\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

    7. u⃗=(519)\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}

    8. u⃗=(−139)\vec u=\begin{pmatrix}-1\\3\\9\end{pmatrix}

    9. u⃗=(4−560.4)\vec u=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac56\\0.4\end{pmatrix}

  4. 4

    Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren.

    1. u→=(2−15)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}   und   v→=(672)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}

    2. u→=(1234)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}   und   v→=(60−8)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}

    3. u→=(−231)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}   und   v→=(−11−2)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}

    4. u→=(1−2−4)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}   und   v→=(−33−1)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}

    5. u→=(3−40)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}   und   v→=(8112)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}

    6. u→=(10−1)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}   und   v→=(00−3)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}

    7. u→=(519)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}   und   v→=(28−2)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}

    8. u→=(−539)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}   und   v→=(28−1)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}

    9. u→=(0,2535)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}   und   v→=(4−230,2)\displaystyle\overrightarrow v=\begin{pmatrix}4\\-\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}

  5. 5

    Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 44.

    Würfel

    1. Berechne für den abgebildeten Würfel den Winkel α\alpha zwischen der Flächendiagonalen CB‾\overline{CB} und der Raumdiagonalen CA‾\overline{CA}.

    2. Wie groß ist der Schnittwinkel β\beta der Raumdiagonalen CA‾\overline{CA} und OB‾\overline{OB}?


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