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Beziehungen zwischen Vektoren und Flächenberechnung (Vektoren in der Ebene III)

8Winkel

Winkel

Man kann jetzt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. Das geschieht immer gegen den Uhrzeigersinn.*

Rechts im Bild kannst du sehen, dass es dafür zwei Möglichkeiten gibt: Den kleineren Winkel φ\color{#009999} \varphi und den größeren Winkel φ′\color{#FF6600} {\varphi'}. Man gibt aber normalerweise immer nur den kleineren an.

Es gilt immer: φ+φ′=360∘\color{#009999} \varphi + \color{#FF6600} {\varphi'} = 360^\circ.

Die Berechnung des Winkels zwischen u⃗\vec u und v⃗\vec v geht folgendermaßen:

cos⁡(φ)=u⃗∘v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos(\color{#009999} \varphi) = \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}

beziehungsweise

φ=cos⁡−1(u⃗∘v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣)\color{#009999} \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} \right)

Der größere Winkel lässt sich dann so berechnen:

φ′=360∘−φ\color{#ff6600} {\varphi'} = 360^\circ - \color{#009999} \varphi

Dabei steht das "∘\circ" für das Skalarprodukt.

"cos⁡−1\cos^{-1}" ist die inverse Kosinus-Funktion: der Arkuskosinus. Das bedeutet insbesondere, dass


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