In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \circ \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= 5v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\circ\vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot2+5\cdot(-1)+1\cdot5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4$ und $v_3=2$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= 4v_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4$ und $v_2=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot v_1+ 0\cdot 0 + (-1)\cdot v_3=v_1 - v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_2=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+ 0\cdot 0 + 1\cdot (-1) =1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 5\\ 1\\9\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 5\cdot 0+ 1\cdot v_2 + 9\cdot v_3=v_2 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= -9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 1\end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+ (-9)\cdot 1 + 1\cdot 9 =0+(-9)+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-1)\cdot v_1+ 3\cdot 0 + 9\cdot v_3=-v_1 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_1= 9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+ 3\cdot0 + 1\cdot 9 =(-9)+0+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 4\\ -\frac56\\0{,}4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 4\cdot v_1+ (-\frac56 )\cdot 0 + 0{,}4\cdot v_3=4v_1 + 0{,}4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_3= -10v_1$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_3=-10$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+ (-\frac 56 )\cdot0 + (-10)\cdot 0{,}4 =4+0-4=0$