In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\circ \vec{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=2\cdot 0+(-1)\cdot v_2+5\cdot v_3=-v_2+5v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash circ\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash \; -1\backslash \backslash 5\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 2\backslash cdot\; 0+\; (-1)\backslash cdot\; v\_2\; +\; 5\backslash cdot\; v\_3=-v\_2\; +\; 5v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=5v_{3}v\_2=\; 5v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5v\_2=5$ und $v_3=1v\_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 5\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\circ \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 2+5\cdot (-1)+1\cdot 5=0+(-5)+5=0\backslash vec\{v\}\backslash circ\backslash vec\{u\}=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot2+5\backslash cdot(-1)+1\backslash cdot5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=12\cdot 0+3\cdot v_2+4\cdot v_3=3v_2+4v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 12\backslash \backslash \; 3\backslash \backslash 4\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 12\backslash cdot\; 0+\; 3\backslash cdot\; v\_2\; +\; 4\backslash cdot\; v\_3=3v\_2\; +\; 4v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-4v_{3}3v\_2=\; -4v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4v\_2=4$ und $v_3=-3v\_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0+12-12=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; 12+\; 4\backslash cdot3\; +\; (-3)\backslash cdot\; 4\; =0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=(-2)\cdot 0+3\cdot v_2+1\cdot v_3=3v_2+v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -2\backslash \backslash \; 3\backslash \backslash 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; (-2)\backslash cdot\; 0+\; 3\backslash cdot\; v\_2\; +\; 1\backslash cdot\; v\_3=3v\_2\; +\; v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-v_{3}3v\_2=\; -v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1v\_2=1$ und $v_3=-3v\_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+1\cdot 3+1\cdot (-3)=0+3+(-3)=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; (-2)+\; 1\backslash cdot3\; +\; 1\backslash cdot\; (-3)\; =0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot 0+(-2)\cdot v_2+(-4)\cdot v_3=-2v_2-4v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash \; -2\backslash \backslash -4\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; 0+\; (-2)\backslash cdot\; v\_2\; +\; (-4)\backslash cdot\; v\_3=-2v\_2\; -4v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2=-4v_{3}2v\_2=\; -4v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4v\_2=-4$ und $v_3=2v\_3=2$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; -4\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+(-4)\cdot (-2)+2\cdot (-4)=0+8+(-8)=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; 1+\; (-4)\backslash cdot(-2)\; +\; 2\backslash cdot\; (-4)\; =0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_3=0v\_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0u\_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ 0\end{array}\right)=3\cdot v_1+(-4)\cdot v_2+0\cdot 0=3v_1+(-4)v_{2}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 3\backslash \backslash \; -4\backslash \backslash 0\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; v\_1\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 3\backslash cdot\; v\_1+\; (-4)\backslash cdot\; v\_2\; +\; 0\backslash cdot\; 0=3v\_1\; +\; (-4)v\_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=4v_{2}3v\_1=\; 4v\_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4v\_1=-4$ und $v_2=-3v\_2=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; -4\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+(-3)\cdot (-4)+0\cdot 0=(-12)+12+0=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=(-4)\backslash cdot\; 3+\; (-3)\backslash cdot(-4)\; +\; 0\backslash cdot\; 0\; =(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_2=0v\_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0u\_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot v_1+0\cdot 0+(-1)\cdot v_3=v_1-v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash \; 0\backslash \backslash -1\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; v\_1\backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; v\_1+\; 0\backslash cdot\; 0\; +\; (-1)\backslash cdot\; v\_3=v\_1\; -\; v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=v_{3}3v\_1=\; v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1v\_1=1$ und $v_2=1v\_2=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-1)=1-1=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=1\backslash cdot\; 1+\; 0\backslash cdot\; 0\; +\; 1\backslash cdot\; (-1)\; =1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 9\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=5\cdot 0+1\cdot v_2+9\cdot v_3=v_2+9v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 5\backslash \backslash \; 1\backslash \backslash 9\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 5\backslash cdot\; 0+\; 1\backslash cdot\; v\_2\; +\; 9\backslash cdot\; v\_3=v\_2\; +\; 9v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=-9v_{3}v\_2=\; -9v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9v\_2=-9$ und $v_3=1v\_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; -9\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+(-9)\cdot 1+1\cdot 9=0+(-9)+9=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; 5+\; (-9)\backslash cdot\; 1\; +\; 1\backslash cdot\; 9\; =0+(-9)+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_2=0v\_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 9\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=(-1)\cdot v_1+3\cdot 0+9\cdot v_3=-v_1+9v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -1\backslash \backslash \; 3\backslash \backslash 9\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; (-1)\backslash cdot\; v\_1+\; 3\backslash cdot\; 0\; +\; 9\backslash cdot\; v\_3=-v\_1\; +\; 9v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_1=9v_{3}v\_1=\; 9v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=9v\_1=9$ und $v_3=1v\_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 9\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+3\cdot 0+1\cdot 9=(-9)+0+9=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=9\backslash cdot\; (-1)+\; 3\backslash cdot0\; +\; 1\backslash cdot\; 9\; =(-9)+0+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_2=0v\_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ -\frac{5}{6}\\ \mathrm{0,4}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ v_3\end{array}\right)=4\cdot v_1+(-\frac{5}{6})\cdot 0+\mathrm{0,4}\cdot v_3=4v_1+\mathrm{0,4}{v}_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 4\backslash \backslash \; -\backslash frac56\backslash \backslash 0\{,\}4\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; v\_1\backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 4\backslash cdot\; v\_1+\; (-\backslash frac56\; )\backslash cdot\; 0\; +\; 0\{,\}4\backslash cdot\; v\_3=4v\_1\; +\; 0\{,\}4v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_3=-10v_{1}v\_3=\; -10v\_1$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1v\_1=1$ und $v_3=-10v\_3=-10$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -10\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; -10\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+(-\frac{5}{6})\cdot 0+(-10)\cdot \mathrm{0,4}=4+0-4=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=1\backslash cdot\; 4+\; (-\backslash frac\; 56\; )\backslash cdot0\; +\; (-10)\backslash cdot\; 0\{,\}4\; =4+0-4=0$