Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}$ , mit $t\in \mathbb {R}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}$ .

Für welche Werte von $t$ schließen die beiden Vektoren einen Winkel von $45^\circ$ ein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Es ist $\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .

Weiterhin gilt:

$\cos \alpha=\dfrac{\vec a\circ\vec b }{|\vec a|\cdot|\vec b|}\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix} }{\left|\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}\right|}$

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix} }{\left\|\begin{pmatrix}2\\t\\4\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge.
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\cdot 6+0+4\cdot 6}{\sqrt{2^2+t^2+4^2}\cdot\sqrt{6^2+0^2+6^2}}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{\sqrt{20+t^2}\cdot\sqrt{2\cdot 36}}$
	↓	Ziehe die Wurzel und kürze.
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{20+t^2}\cdot\sqrt{2}}$	$\displaystyle \cdot \sqrt{2}$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{20+t^2}}$	$\displaystyle \cdot\sqrt{20+t^2}$
$\displaystyle \sqrt{20+t^2}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle 20+t^2$	$=$	$\displaystyle 36$	$\displaystyle -20$
$\displaystyle t^2$	$=$	$\displaystyle 16$

Die Gleichung $t^{2} = 16$ hat die Lösungen $t_{1} = - 4$ und $t_{2} = 4$ .

Antwort: Die beiden Vektoren $\vec a_1=\begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix}$ und $\vec a_2=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$ schließen mit dem Vektor $\vec b=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}$ einen Winkel von $45^\circ$ ein.

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung:

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