Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array})$ , mit $t \in ℝ$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array})$ .

Für welche Werte von $t$ schließen die beiden Vektoren einen Winkel von $45^{\circ}$ ein?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{2 \cdot 6 + 0 + 4 \cdot 6}{\sqrt{2^{2} + t^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{6^{2} + 0^{2} + 6^{2}}}$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{36}{\sqrt{20 + t^{2}} \cdot \sqrt{2 \cdot 36}}$
	↓	Ziehe die Wurzel und kürze.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{20 + t^{2}} \cdot \sqrt{2}}$	$\cdot \sqrt{2}$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$1$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{20 + t^{2}}}$	$\cdot \sqrt{20 + t^{2}}$
$\sqrt{20 + t^{2}}$	$=$	$6$	$()^{2}$
$20 + t^{2}$	$=$	$36$	$- 20$
$t^{2}$	$=$	$16$