Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ .

Berechne für den abgebildeten Würfel den Winkel $\alpha$ zwischen der Flächendiagonalen $\overline{CB}$ und der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Der Punkt $A$ des Würfels hat die Koordinaten $A (4 ∣ 4 ∣ 0)$ .

Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B (4 ∣ 4 ∣ 4)$ und $C$ hat die Koordinaten $C (0 ∣ 0 ∣ 4)$ .

Für den Vektor $\overrightarrow{CA}$ gilt:

$\overrightarrow{CA}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}$

Für den Betrag dieses Vektors folgt: $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{4^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{48}$

Für den Vektor $\overrightarrow{CB}$ gilt:

$\overrightarrow{CB}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}$

Für den Betrag dieses Vektors folgt: $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{4^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}$

Den Winkel $\alpha$ berechnest du mit:

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CA}\|\cdot \|\overrightarrow{CB}\|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{48}\cdot \sqrt{32}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und fasse die Wurzeln zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16+16+0}{\sqrt{1536}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{32}{\sqrt{1536}}$

Den Winkel $\alpha$ kannst du nun mit der Umkehrfunktion des Kosinus berechnen.

Wähle dazu auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos{}^{-1}$ .

$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \cos{}^{-1}{\left(\dfrac{32}{\sqrt{1536}}\right)}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 35{,}26^\circ$

Antwort: Der Winkel $\alpha$ zwischen der Flächendiagonalen $\overline{CB}$ und der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ beträgt etwa $35{,}26^\circ$ .

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Wie groß ist der Schnittwinkel $\beta$ der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ und $\overline{OB}$ ?

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$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle \cos{}^{-1}{\left(\dfrac{1}{{3}}\right)}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 70{,}53^\circ$

$\displaystyle \cos{\beta}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{OB}}{\|\overrightarrow{CA}\|\cdot \|\overrightarrow{OB}\|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}}{\sqrt{48}\cdot \sqrt{48}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und berechne die Wurzeln.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16+16-16}{48}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{48}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$