Bei dieser Aufgabe ist einem Dreieck ein größtmögliches Rechteck einzubeschreiben. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe

Wenn du eine Rechtecksseite auf die Grundlinie des Dreiecks legst, bedeutet die Forderung des "Einbeschreibens", dass die beiden weiteren Rechteckspunkte $PP$ und $QQ$ jeweils auf den anderen Seiten des Dreiecks liegen. Dies ergibt zwei Nebenbedingungen für die Extremwertaufgabe.

Da der Flächeninhalt maximiert werden soll, benötigst du zunächst als Zielfunktion die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, in die du dann die Nebenbedingungen "einarbeiten" musst.

Zielfunktion

$A(a;b)=a\cdot bA(a;b)=a\backslash cdot\; b$ mit und $b=y_{P}b=y\_P$ also:

$A(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_{P}A(x\_P;y\_P;x\_Q)=(x\_P-x\_Q)\backslash cdot\; y\_P$

1. Nebenbedingung

$P(x_P\mathrm{\mid }{y}_P)P(x\_P|y\_P)$ liegt auf der Geraden $pp$.

Stelle die Gleichung der Geraden $pp$ mit Hilfe der Punkte $B\left(6\mathrm{\mid }0\right)B\backslash left(6|0\backslash right)$ und $C\left(0\mathrm{\mid }4\right)C\backslash left(0|4\backslash right)$ auf.

${\displaystyle m_P=\frac{4-0}{0-6}=-\frac{2}{3}}\backslash displaystyle\; m\_P=\backslash frac\{4-0\}\{0-6\}=-\backslash frac23$

$t=4t=4$

$\Rightarrow (1)p:y_P=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x_P+4\backslash Rightarrow\backslash ,(1)\backslash ;p:\backslash ,y\_P=-\backslash dfrac23\backslash cdot\; x\_P+4$

Gib nun die 2. Nebenbedingung an.

2. Nebenbedingung

$Q(x_Q\mathrm{\mid }{y}_P)Q(x\_Q|\backslash color\{red\}\{y\_P\})$ liegt auf der Geraden $qq$.

Stelle die Gleichung der Geraden $qq$ mit Hilfe der Punkte $A(-2\mathrm{\mid }0)A\backslash left(-2|0\backslash right)$ und $C\left(0\mathrm{\mid }4\right)C\backslash left(0|4\backslash right)$ auf.

${\displaystyle m_Q=\frac{4-0}{0+2}=+2}\backslash displaystyle\; m\_Q=\backslash frac\{4-0\}\{0+2\}=+2$

$t=4t=4$

$\Rightarrow (2)q:y_P=2\cdot x_Q+4\backslash Rightarrow\backslash ;(2)\backslash ;q:\backslash ,y\_P=2\backslash cdot\; x\_Q+4$

Löse nach $x_{Q}x\_Q$ auf.

Setze $y_P=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x_P+4y\_P=-\backslash dfrac23\; \backslash cdot\; x\_P+4$ und $x_Q=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot x_{P}x\_Q=-\backslash dfrac13\; \backslash cdot\; x\_P$ in die Zielfunktion $A(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_{P}A(x\_P;y\_P;x\_Q)=(x\_P-x\_Q)\backslash cdot\; y\_P$ ein, um die Zielfunktion in Abhängigkeit der einzigen Variablen $x_{P}x\_P$ zu erhalten.

$\mathbb{D}=]0;6[\backslash mathbb\{D\}=]0;6[$

Bilde die Ableitung $A^{\mathrm{\prime }}(x_P)A\text{'}(x\_P)$.

${\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}(x_P)=-\frac{16}{9}{x}_P+\frac{16}{3}}\backslash displaystyle\; A\text{'}(x\_P)=-\backslash frac\{16\}\{9\}x\_P+\backslash frac\{16\}\{3\}$

Setze $A^{\mathrm{\prime }}(x_P)A\text{'}(x\_P)$ gleich Null und löse die Gleichung.

Überprüfe mit der 2. Ableitung, ob sich für $x_P=3x\_P=3$ tatsächlich ein Maximum ergibt.

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{16}{9}}A\text{'}\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{16\}\{9\}$

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)A\text{'}\text{'}(x)$ ist eine konstante Funktion. Somit ist auch und $x_P=3x\_P=3$ ergibt eine größtmögliche Rechtecksfläche.

Setze $x_P=3x\_P=3$ in die Fläche $A(x_P)A(x\_P)$ ein.

Flächeninhalt:

${\displaystyle A(x_P)=-\frac{8}{9}\cdot x_P^2+\frac{16}{3}\cdot x_P}\backslash displaystyle\; A(x\_P)=-\backslash frac89\backslash cdot\; x\_P^2\; +\backslash frac\{16\}\{3\}\backslash cdot\; x\_P$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$

${\displaystyle A(3)=-\frac{8}{9}\cdot 9+\frac{16}{3}\cdot 3=8}\backslash displaystyle\; A(3)=-\backslash frac89\; \backslash cdot\; 9+\backslash frac\{16\}\{3\}\; \backslash cdot\; 3=8$

Setze $x_P=3x\_P=3$ auch noch in die 1. Nebenbedingung ein, um die 2. Koordinate des Eckpunktes P zu erhalten.

Nebenbedingung:

${\displaystyle y_P=-\frac{2}{3}\cdot x_P+4}\backslash displaystyle\; y\_P=-\backslash frac23\; \backslash cdot\; x\_P+4$

$\Rightarrow y_P=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 3+4=2\backslash Rightarrow\backslash quad\; y\_P=-\backslash dfrac23\; \backslash cdot\; 3+4=2$

Ergebnis:

Mit dem Eckpunkt $P(3\mathrm{\mid }2)P(3|2)$ ist das größtmögliche Rechteck in das Dreieck einbeschrieben und hat den Flächeninhalt $8{\text{LE}}^{2}8\backslash ,\backslash text\{LE\}^2$.

Alternative Lösung 1

Lies den Scheitelpunkt ab $\Rightarrow S(3\mathrm{\mid }8)\backslash Rightarrow\; S(3|8)$

Dessen 2. Koordinate liefert den gesuchten maximalen Flächeninhalt eines dem Dreieck einbeschriebenen Rechtecks.

$A_{max}=8{\text{LE}}^{2}A\_\{max\}=8\backslash ;\backslash text\{LE\}^2$

Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Punktes P das Ergebnis kontrollieren.

Alternative Lösung 2

Die gestellte Aufgabe lässt eine verblüffend einfache Lösung zu. Dabei wird das Koordinatensystem nicht benötigt, sondern sie ergibt sich aus dem Strahlensatz.

Entscheidend für diese Möglichkeit ist, dass vom Dreieck $ABCABC$ neben der Grundlinie $\overline{AB}=8\text{LE}\backslash overline\{AB\}=8\backslash ,\backslash text\{LE\}$ die Höhe auf diese Seite mit $h=y(C)=4\text{LE}h=y(C)=4\backslash ,\backslash text\{LE\}$ gegeben ist.

Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz.

Benutze den Strahlensatz und erhalte:

Setze $bb$ in $A(a;b)A(a;b)$ ein.

$A(a)=a\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}}a+4)A(a)=a\backslash cdot\; (-\backslash dfrac\; 12\; a+4)$

$A(a)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+4aA(a)=-\backslash dfrac\; 12\; a^2+4a$

Die Zielfunktion $A(a)A(a)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb ergibt die y-Koordinate des Scheitelpunktes den maximal möglichen Flächeninhalt einbeschriebener Rechtecke.

Den Scheitelpunkt berechnest du über die Ableitung von $A(a)A(a)$ oder mit einer quadratischen Ergänzung.

Ableitung von $A(a)A(a)$

$A^{\mathrm{\prime }}(a)=-a+4A\text{'}(a)=-a+4$

$A^{\mathrm{\prime }}(a)=0\Rightarrow a=4A\text{'}(a)=0\backslash ,\backslash Rightarrow\backslash ,a=4$

$\Rightarrow A_{max}=8\backslash Rightarrow\backslash ,A\_\{max\}=8$

quadratische Ergänzung

$A(a)=-\frac{1}{2}(a^2-8a+4^2)+8A(a)=-\backslash frac\{1\}\{2\}(a^2-8a\backslash color\{red\}\{+4^2\})\backslash color\{red\}\{+8\}$

$=-\frac{1}{2}(a-4{)}^2+8=-\backslash frac\; 12(a-4)^2+8$

$\Rightarrow S(4\mathrm{\mid }8)\backslash Rightarrow\backslash ,S(4|8)$

Vertiefung der Aufgabe

In der gegebenen Aufgabenstellung soll das Rechteck dem Dreieck $ABCABC$ so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundseite $[AB][AB]$ liegt.

Natürlich kann man Rechtecke auch so einbeschreiben, dass eine Rechteckseite auf einer der beiden anderen Dreieckseiten liegt.

Dann stellt sich die Frage: Haben die maximal möglichen Flächeninhalte auch bei den beiden anderen Lagen den gleichen Wert?

Dass dies tatächlich so ist, kannst du am folgenden Applet nachvollziehen, indem du die unterschiedlichen Gleitpunkte $P_{1}P\_1$, $P_{2}P\_2$ oder $P_{3}P\_3$ verschiebst.