Weitere Aufgaben zu Extremwertproblemen
Hier findest du Aufgaben zu Extremwertproblemen. Lerne das Optimieren mithilfe von Extremwertproblemen!
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Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung g(x)=x+1 hat vom Punkt T(3∣−1) minimalen Abstand?
Wie groß ist dieser minimale Abstand?
Fertige zunächst eine Skizze an!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe lösen
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Zielfunktion
Abstand der Punkte P und T.
Nebenbedingung
Der Punkt P liegt auf der Geraden
y=x+1
Berechne die Zielfunktion mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
TP2(xP;yP) = (3−xP)2+(yP+1)2 ↓ Setze die Geradengleichung für y ein.
TP2(xp) = (3−xp)2+(xp+2)2 ↓ Quadriere aus
TP2(xp) = 9−6xp+xp2+xp2+4xp+4 ↓ Fasse zusammen
TP2(xp) = 2(xp)2−2xp+13 ↓ Ziehe die Wurzel
TP(xP) = 2(xP)2−2xP+13 Beachte für Extremwertaufgaben mit einer Abstandsbedingung:
Für alle Punkte, für die der Abstand minimal oder maximal wird, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal bzw. maximal, da gilt:
0<TP1<TP2⇔TP12<TP22.
Da die Ableitung für TP2 bequemer zu berechnen ist, als für TP (keine Wurzel!), benutzt man als Zielfunktion ab hier das Quadrat des Abstandes.
TP2(xP) = 2(xP)2−2xP+13 ↓ Bilde die Ableitung
TP2(xP)′ = 4xP−2 ↓ Setze die Ableitung gleich Null
0 = 4xP−2 +2 2 = 4xP :4 0,5 = xp Berechne die 2. Ableitung der Zielfunktion, um dich zu versichern, dass xP=0,5 ein Minimum des Quadrats des Abstandes liefert.
TP2(xP)′′=+4>0
⇒xP=0,5
liefert Minimum.
Bestimme jetzt aus der Nebenbedingung yP:
yP=0,5+1=1,5
⇒ P(0,5∣1,5) ist der gesuchte Punkt.
Berechne abschließend TP, nicht nur TP2!!
Ergebnis:
Der minimale Abstand des Punktes T(3∣−1) von der Geraden y=x+1 beträgt:
TPLE=2⋅0,25−2⋅0,5+13LE=12,5LE≈3,54LE.
Alternative Lösung
Ohne Kenntnisse aus der Differenzialrechnung kannst du die Aufgabe auch mit einer geometrischen Überlegung lösen:
Der gesuchte Punkt der Geraden g mit kleinstem Abstand zum Punkt T ist der Lotfußpunkt F vom Punkt T auf die Gerade g.
Er kann
a) als Gleitpunkt auf der Geraden oder
b) als Schnittpunkt zweier Geraden
berechnet werden.
a) Der Lotfußpunkt F als Gleitpunkt auf g.
Wenn die Strecke [AF] auf der Geraden g senkrecht stehen soll, muss für deren Steigungen m[TF] und mg gelten:
m[TF]⋅mg=−1.
Also:
=m[TF]xF−3yF+1⋅=mg1 = −1 ↓ Setze die Geradengleichung für y ein
xF−3xF+2 = −1 ⋅(xF−3) xF+2 = −xF+3 +xF−2 2xF = 1 :2 xF = 0,5 b) Der Lotfußpunkt F liegt auf der Geraden g, seine x-Koordinate hast du gerade berechnet, die y-Koordinate erhältst du durch einsetzen in g:
y = x+1 y = 0,5+1 y = 1,5 Im nachfolgenden Applet kannst du die Rechnung überprüfen, indem du den Geradenpunkt F verschiebst.
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Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=0,5x2−2 hat vom Punkt T(0∣3,5) minimalen Abstand?
Wie groß ist dieser minimale Abstand?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Zielfunktion:
Abstand der beiden Punkte T und P.
Nebenbedingung:
Der Punkt P liegt auf der Parabel.
Gib die Zielfunktion an. Benutze dazu den Satz des Pythagoras.
Gib die Funktionsgleichung der Nebenbedingung an.
TP2=xP2+(3,5−yP)2
TP=xP2+(3,5−yP)2
Beachte: Für alle Punkte, für die der Abstand minimal wird, wird auch das Quadrat des Abstandes minimal.Deshalb nimmt man TP2 als Zielfunktion.
Dies erleichtert die Rechnung.
Zielfunktion:
TP2=xP2+(3,5−yP)2
Nebenbedingung:
yP=0,5xP2−2
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
TP2(xP)=xP2+(3,5−0,5xP2+2)2
Fasse in der Klammer zusammen und quadriere mit der binomischen Formel.
TP2(xP)=0,25xP4−4,5xP2+30,25
Bilde die Ableitung
TP2(xP)′=xP3−9xP
Setze die Ableitung gleich Null und löse die Gleichung.
xP3−9xPxP(xP2−9)xP1xP2xP3=====000+3−3
Untersuche, für welche der Lösungen die 2. Ableitung positiv ist, damit jeweils ein Minmum vorliegt
TP2(xP)′′TP2(0)′′TP2(±3)′′===3xP2−9−9+18
xP=0 ergibt ein lokales Maximum des Abstandsquadrats.
xp=−3 und xP=+3 liefern ein Minimum des Quadrat des Abstandes und damit auch ein Minimum des Abstands.
Gib die drei Punkte und den dazu gehörigen Abstand an.
Einsetzen der drei xP-Werte in die Nebenbedingung:
y(0)=−2 ⇒ P0(0∣−2) und TP0=30,25=5,5
y(±3)=0,5⋅9−2=2,5 ⇒ P2∣3(±3∣2,5) und TP2/3=0,25⋅81−4,5⋅9+30,25=10≈3,16
Ergebnis:
Die beiden Punkte P1(−3∣2,5) und P2(+3∣2,5) haben von der Parabel mit rund 3,16LE den geringsten Abstand.
Im nachfolgenden Applet kannst du dies überprüfen indem du den Punkt P verschiebst.
Alternative Lösung
Bei dieser Lösung ermittelst du in Frage kommende Parabelpunkt über eine Betrachtung von Tangenten der Parabel.
Für die drei Extremumspunkte P1, P2 ,P3 gilt:
Die jeweilige Verbindungsstrecke zum Punkt T steht senkrecht auf der Parabeltangente.
Parabel: p(x)=0,5x2−2
Tangentensteigung:p′(x)=x
Gib die Steigung m von [TP] an.
m[TP]=xy−3,5=x0,5x2−5,5x=0
Lotbedingung ansetzen!
m[TP]⋅p′(x)x0,5x2−5,5⋅x0,5x2−5,5x2x2/3=====−1x=0−1−19±3
Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.
Zusatz:
Auch für den Punkt P(0∣−2) ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu T.
Bei dieser Aufgabe sollst du den minimalen Abstand eines Parabelpunktes von einem vorgegebenen Punkt "innerhalb" der Parabel als Extremwertaufgabe berechnen.
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Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhängig vom Preis p. Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.
Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)
Der Umsatz (Verkaufserlös) U(p) ist als Produkt aus Absatz und Preis eine Wertgröße.
Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel n Stück zu einem Stückpreis von p€.
Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:
PAFn(p)=1200−3⋅p
Bestimme den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Stückpreis p.
Für welchen Preis p ist der Umsatz maximal?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
In dieser Aufgabe aus dem Wirtschaftsleben sollst du den Zusammenhang zwischen Warenpreis und Verkaufserfolg, der am Umsatz gemessen wird, erfassen und den maximalen Umsatz als Extremwertaufgabe berechnen.
Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.
Gesucht: U(p) und optimaler Preis
Stelle die Zielfunktion U auf: monatlicher Umsatz = Stückzahl mal Preis.
U(p)=n(p)⋅p
Erkenne die Nebenbedingung, die durch die Preis-Absatz-Funktion PAF gegeben ist.
PAF:
n(p)=1200−3⋅pDPAF=[0;400]
Bestimme die Extremalfunktion U(p), also den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Preis, indem du in U die Nebenbedingung einsetzt.
U(p)=(1200−3⋅p)⋅p=1200p−3p2
Berechne die erste und zweite Ableitung.
Setze die erste Ableitung gleich Null und erkenne anhand der zweiten Ableitung, dass es sich um ein Maximum handelt.
Berechne Umax.
Umax=U(200)=(1200−3⋅200)⋅200=120000
Ergebnis:
Der maximale monatliche Umsatz der Firma beim Verkauf des Artikels beträgt 120000€ bei einem Stückpreis von 200€.
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Dem abgebildeten Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.
Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Bei dieser Aufgabe ist einem Dreieck ein größtmögliches Rechteck einzubeschreiben. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe
Wenn du eine Rechtecksseite auf die Grundlinie des Dreiecks legst, bedeutet die Forderung des "Einbeschreibens", dass die beiden weiteren Rechteckspunkte P und Q jeweils auf den anderen Seiten des Dreiecks liegen. Dies ergibt zwei Nebenbedingungen für die Extremwertaufgabe.
Da der Flächeninhalt maximiert werden soll, benötigst du zunächst als Zielfunktion die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, in die du dann die Nebenbedingungen "einarbeiten" musst.
Zielfunktion
A(a;b)=a⋅b mit a=xP−xQ(daxQ<0) und b=yP also:
A(xP;yP;xQ)=(xP−xQ)⋅yP
1. Nebenbedingung
P(xP∣yP) liegt auf der Geraden p.
Stelle die Gleichung der Geraden p mit Hilfe der Punkte B(6∣0) und C(0∣4) auf.
mP=0−64−0=−32
t=4
⇒(1)p:yP=−32⋅xP+4
Gib nun die 2. Nebenbedingung an.
2. Nebenbedingung
Q(xQ∣yP) liegt auf der Geraden q.
Stelle die Gleichung der Geraden q mit Hilfe der Punkte A(−2∣0) und C(0∣4) auf.
mQ=0+24−0=+2
t=4
⇒(2)q:yP=2⋅xQ+4
Löse nach xQ auf.
yp = 2⋅xQ+4 −4 yp−4 = 2⋅xQ :2 0,5yP−2 = xQ ↓ Setze für yP den Term aus (1) ein.
0,5(−32xP+4)−2 = xQ ↓ Multipliziere die Klammer aus
−31xP = xQ Setze yP=−32⋅xP+4 und xQ=−31⋅xP in die Zielfunktion A(xP;yP;xQ)=(xP−xQ)⋅yP ein, um die Zielfunktion in Abhängigkeit der einzigen Variablen xP zu erhalten.
A(xP) = (xP+31xP)⋅(−32xP+4) = 34xP⋅(−32xP+4) ↓ Multipliziere aus
= −98xP2+316xP D=]0;6[
Bilde die Ableitung A′(xP).
A′(xP)=−916xP+316
Setze A′(xP) gleich Null und löse die Gleichung.
0 = −916xP+316 +916xP 916xP = 316 :916 xP = 3 Überprüfe mit der 2. Ableitung, ob sich für xP=3 tatsächlich ein Maximum ergibt.
A′′(x)=−916
A′′(x) ist eine konstante Funktion. Somit ist auch A′′(3)<0 und xP=3 ergibt eine größtmögliche Rechtecksfläche.
Setze xP=3 in die Fläche A(xP) ein.
Flächeninhalt:
A(xP)=−98⋅xP2+316⋅xP
⇒
A(3)=−98⋅9+316⋅3=8
Setze xP=3 auch noch in die 1. Nebenbedingung ein, um die 2. Koordinate des Eckpunktes P zu erhalten.
Nebenbedingung:
yP=−32⋅xP+4
⇒yP=−32⋅3+4=2
Ergebnis:
Mit dem Eckpunkt P(3∣2) ist das größtmögliche Rechteck in das Dreieck einbeschrieben und hat den Flächeninhalt 8LE2.
Alternative Lösung 1
Der Graph der Zielfunktion A(x)=−98x2+316x,D=]0;6[
ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Ihr Maximum ist der Scheitelpunkt. Diesen kann man - außer über die Ableitung von A(x) - durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.
A(x) = −98x2+316x ↓ Klammere −98 aus.
= −98(x2−6x) ↓ = −98(x2−6x+32)+8 ↓ 2. binomische Formel benutzen.
A(x) = −98(x−3)2+8 Lies den Scheitelpunkt ab ⇒S(3∣8)
Dessen 2. Koordinate liefert den gesuchten maximalen Flächeninhalt eines dem Dreieck einbeschriebenen Rechtecks.
Amax=8LE2
Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Punktes P das Ergebnis kontrollieren.
Alternative Lösung 2
Die gestellte Aufgabe lässt eine verblüffend einfache Lösung zu. Dabei wird das Koordinatensystem nicht benötigt, sondern sie ergibt sich aus dem Strahlensatz.
Entscheidend für diese Möglichkeit ist, dass vom Dreieck ABC neben der Grundlinie AB=8LE die Höhe auf diese Seite mit h=y(C)=4LE gegeben ist.
Zielfunktion ist die Formel für die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen aLE und bLE. Also:
A(a;b)=a⋅b
Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz.
Benutze den Strahlensatz und erhalte:
8a = 44−b ⋅4 0,5a = 4−b +b−0,5a b = 0,5a+4 Setze b in A(a;b) ein.
A(a)=a⋅(−21a+4)
A(a)=−21a2+4a
Die Zielfunktion A(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb ergibt die y-Koordinate des Scheitelpunktes den maximal möglichen Flächeninhalt einbeschriebener Rechtecke.
Den Scheitelpunkt berechnest du über die Ableitung von A(a) oder mit einer quadratischen Ergänzung.
Ableitung von A(a)
A′(a)=−a+4
A′(a)=0⇒a=4
⇒Amax=8
quadratische Ergänzung
A(a)=−21(a2−8a+42)+8
=−21(a−4)2+8
⇒S(4∣8)
Vertiefung der Aufgabe
In der gegebenen Aufgabenstellung soll das Rechteck dem Dreieck ABC so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundseite [AB] liegt.
Natürlich kann man Rechtecke auch so einbeschreiben, dass eine Rechteckseite auf einer der beiden anderen Dreieckseiten liegt.
Dann stellt sich die Frage: Haben die maximal möglichen Flächeninhalte auch bei den beiden anderen Lagen den gleichen Wert?
Dass dies tatächlich so ist, kannst du am folgenden Applet nachvollziehen, indem du die unterschiedlichen Gleitpunkte P1, P2 oder P3 verschiebst.
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Es gibt viele Zahlenpaare positiver Zahlen, deren Produktwert 0,64 beträgt.
a) Gib 10 solcher Zahlenpaare an.
b) Ermittle dasjenige Zahlenpaar, das den kleinsten Summenwert besitzt.
Teilaufgabe a
Für diese Teilaufgabe gibt es viele Lösungen. Du kannst zum Beispiel diese 10 Zahlenpaare angeben:
(0,1|6,4), (0,8|0,8), (1|0,64), (2|0,32), (4|0,16), (8|0,08), (10|0,064), (16|0,04), (32|0,02), (64|0,01).
Teilaufgabe b
Ein allgemeines Zahlenpaar kannst du schreiben als (x∣y) mit zwei Zahlen x und y, die du noch bestimmen musst.
Da nach jenem Zahlenpaar gesucht ist, dass den kleinsten Summenwert besitzt, musst du die Funktion f(x,y)=x+y unter der Nebenbedingung x⋅y=0,64 minimieren.
Löst du die Nebenbedingung nach y auf, so erhältst du den Zusammenhang
den du in die Funktion f einsetzen kannst. Das bedeutet:
Gesucht ist also das Minimum dieser Funktion. Kandidaten für Extremstellen von f sind als Nullstellen von f′(x) gegeben. Die erste Ableitung von f berechnet sich zu
Setzt du das eben berechnete f′(x) gleich null, so erhältst du als Lösungen
Da nach einem Zahlenpaar positiver Zahlen gesucht ist, kannst du die negative Lösung vernachlässigen. Um die Art des Extremums zu verifizieren (gesucht ist ja ein Minimum), berechnest du die zweite Ableitung. Sie ist gegeben durch
Setzt du x=0,8 in f′′(x) ein, erkennst du, dass
gilt, sodass bei x=0,8 tatsächlich ein Minimum von f vorliegt.
Setzt du x=0,8 in die Nebenbedingung x⋅y=0,64 ein, so erhältst du
Das gesuchte Zahlenpaar (x∣y) ist also (0,8∣0,8).
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Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen aLE und bLE, ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite b aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.
Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.
Welche Seitenlängen und welche Fläche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Bei dieser Aufgabe soll ein größtmöglicher Flächeninhalt bestimmt werden. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.
Die Scheibe sei höher als breit. Also gelte: a>b.
Das abgeschnittene Stück der Scheibe ist wegen des Neigungswinkels von 45° ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von b/2LE.
Die gesuchte rechteckige "Ersatzscheibe" habe die Seitenlängen xLE und yLE und entsteht von einem Punkt P aus, der auf der abgebrochenen Schnittkante variiert.
Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt A(x;y) eines Rechtecks mit den Seiten xLE und yLE:
A(x;y)=x⋅y,
wobei
2b≤x≤b und a−2b≤y≤a
Grafische Veranschaulichung
Die Nebenbedingungen für P ergeben sich aus dessen variabler Lage auf der Schnittkante und können mit einem variablen Parameter t so angegeben werden:
x=2b+t und
y=a−t wobeigilt
0≤t≤2b
Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein, um diese als Funktion der Variablen t zu erhalten.
Zielfunktion
A(t) = (2b+t)⋅(a−t) ↓ Bilde - z.B. mit der Produktregel - die 1. Ableitung A′(t) und die 2. Ableitung A′′(t).
DA(t)=[0;b/2] = [0;2b] A´(t) = −2t+a−2b ↓ Setze A′(t) gleich Null und löse die Gleichung.
A´´(t) = −2 A´´(t) < 0 −2t+a−2b = 0 t = 2a−4b Zwischenstand der Lösung:
Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt wird von einem variablen Punkt P aus erzeugt, der auf der Strecke [S1;S2] liegen muss.
Damit ist der Definitionsbereich der Flächen-Zielfunktion A(t) auf das Intervall [0;2b] begrenzt.
A(t) ist wegen A′′(t)<0 eine nach unten geöffnete Parabel und der errechnete Wert tmax=2a−4b liefert ein lokales Maximum - also einen maximalen Flächeninhalt, aber nur dann, wenn der Wert im Intervall [0;2b] liegt.
Da a>b ist jedenfalls tmax>0.
tmax ist aber nicht für jedes Zahlenpaar a und b kleiner als 2b, da gilt:
2a−4b ≤ 2b 2a ≤ 43b a ≤ 23b Fallunterscheidung:
Fall 1: b<a≤23b ("a nicht zu groß")⇒tmax∈[0;2b]
Fall 2:a>2b("a beliebig groß")⇒tmax∈/[0;2b]
Setze tmax in A(t) ein.
Fall 1:
b<a≤23b
tmax liefert lokales Maximum
A(tmax) = (2b+2a−4b)⋅(a−2a+4b) = (4b+2a)⋅(2a+4b) = (2a+4b)2 Die Seitenlängen der Ersatzscheibe sind:
x=2b+tmax=2b+2a−4b=2a+4b
y=a−tmax=a−2a+4b=2a+4b
Die Ersatzscheibe ist demnach ein Quadrat.
Für den Punkt P auf [S1;S2] , von dem aus geschnitten wird gilt:
S1P=t2+t2=2(2a−4b)
Zahlenbeispiel
Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten a=5LE und b=4LE nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt P längst der Bruchkante [S1S2].
Man erhält für den maximalen Flächeninhalt 12,25FE, für die (quadratische) Rechtecksseite 3,5LE und für den Abstand des Punktes P von S1 den Wert 1,5⋅2LE≈2,1LE
Fall 2
a>23b⇒tmax>2b⇒tmax∈/[0;2b]
Damit liegt der Scheitelpunkt der Flächenparabel A(t) rechts vom Intervall [0;2b] und A(t) nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.
Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt P mit dem rechtem Randpunkt S2 zusammenfällt. Also für t=2b.
Demnach gilt hier:
Amax=A(2b)=b⋅(a−2b).
Die Seitenlängen für Amax sind:
x=2b+2b=b und y=a−2b.
Für den erzeugenden Punkt P gilt: P=S2.
Zahlenbeispiel
Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten a=6LE und b=3LE nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt P längs der Bruchkante [S1S2].
Man erhält für den maximalen Flächeninhalt 13,5FE, bei den Seitenlängen von a=4,5LE und b=3LE.
Zusammenfassung
Die Aufgabe ist durch die notwendige Fallunterscheidung der Fenstermaße anspruchsvoll.
Falls die Fensterhöhe "nicht zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist (a≤23b), besitzt die Aufgabe ein lokales Maximum.
Falls die Fensterhöhe "zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist (a>23b) ergibt sich ein Randmaximum.
Alternative Lösung
Die beschriebene Lösung hat für die variable Lage des Erzeugungspunktes P auf der Bruchkante [S1S2] seinen horizontalen Abstand t vom Punkt S1 als Parameter verwendet.
Für eine alternative Lösung der Aufgabe verzichten wir auf einen zusätzlichen Parameter und betrachten die Rechtecksseiten x und y als die Variablen des gesuchten maximalen Rechtecks und bestimmen die Nebenbedingung zwischen x und y aus dem Strahlensatz.
Die Zielfunktion lautet:
A(x;y)=x⋅y mit x∈[b/2;b]
Die Nebenbedingung ergibt sich durch Anwendung des Strahlensatzes in der nebenstehenden Skizze:
2bx = 2ba−y+2b ⋅2b ⇒
x = a−y+2b y = −x+a+2b Grafische Veranschaulichung
Setze das Ergebnis der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
A(x) = x⋅(−x+a+2b) ↓ Setze A′(x) gleich Null, um ein mögliches Maximum xm zu erhalten.
A(x) = −x2+(a+2b)⋅x ↓ mit x∈[b/2;b]
A‘(x) = −2x+(a+2b) −2xm+(a+2b) = 0 xm = 2a+4b Zwischenstand der alternativen Lösung
Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt ist ein Rechteck mit den Seitenlängen xLE und yLE.
Dabei muss x eine Zahl aus dem Intervall [b/2;b] sein, damit der erzeugende Punkt P auf der Strecke [S1S2] liegt.
Durch die Nebenbedingung aus dem Strahlensatz ergibt sich mit A(x)=−x2+(a+2b)x eine nach unten geöffnete Parabel und xm=2a+4b liefert ein lokales Maximum für die Rechtecksfläche - aber nur dann, wenn xm im Intervall [b/2;b] liegt.
Da gilt: a>b, ist jedenfalls
xm=2a+4b>3b+4b>2b.
xm ist aber nicht für jedes Zahlenpaar a und b kleiner als b, da gilt:
2a+4b ≤ b ⋅4 2a+b ≤ 4b a = 23b Fallunterscheidung
Fall 1:b<a≤23b"a ist nicht zu groß"⇒xm∈[2b;b]
Fall 2: a>23b"a beliebig groß"⇒xm∈/[2b;b]
Fall 1: b<a≤23b
xm liefert lokales Maximum mit
ym=−2a−4b+a+2b
ym=2a+4b
Setze xm in die Nebenbedingung ein, um ym zu bekommen. Setze beide Werte in A(xm;ym) ein , um die maximale Fläche zu berechnen.
Das maximale Rechteck ist demnach ein Quadrat mit der Seitenlänge 2a+4b.
Für die Fläche gilt:Amax=(2a+4b)2
Fall 2:
a>23b⇒xm>b⇒xm∈/[2b;b]
Damit liegt der Scheitelpunkt der Parabel A(x) rechts vom Intervall [2b;b] und A(x) nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.
Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt P mit dem rechten Randpunkt S2 zusammenfällt. Also für xm=b.
Damit gilt für die Seitenlängen des gesuchten maximalen Rechtecks x=b und y=a−2b.
Die maximale Fläche ist:
Amax=b⋅(a−2b)
Die beiden folgenden Grafiken veranschaulichen die alternative Lösung der Aufgabe.
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Aus einem kreisrunden Papierstück mit dem Radius R soll eine kegelförmige Popkorntüte hergestellt werden.
Wie muss das Papier zugeschnitten und zusammengeklebt werden, wenn die fertige Tüte mit möglichst viel Popcorn gefüllt werden soll?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Aus dem Kreis mit dem Radius R wird ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ ausgeschnitten. Der ausgeschnittene Kreissektor ergibt den Mantel des Kegels.
Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung
Die Zielfunktion bei dieser Aufgabe ist das Volumen eines Kegels:
Die Nebenbedingung ergibt sich aus der obigen rechten Abbildung.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:
Die Volumenfunktion V hängt sowohl von r als auch von h ab, d.h. V(r,h).
Um die Nebenbedingung in die Zielfunktion einzusetzen kann man sie nach einer der beiden Variablen r oder h auflösen. Man hat somit zwei Lösungsvarianten.
Die einfachere dieser beiden Lösungsvarianten ergibt sich, wenn das Volumen V des Kegels nur von der Kegelhöhe h abhängig ist, d.h. es muss V(h) bestimmt werden.
Lösungsvariante 1
Einsetzen in die Zielfunktion
Gleichung (II) wird nach r bzw. gleich nach r2 aufgelöst: r2=R2−h2.
Dieses r2 wird nun in die Zielfunktion (I) eingesetzt um die Extremalfunktion als Funktion von h zu erhalten:
V(h)=31π⋅(R2−h2)⋅h=31π⋅(R2h−h3) (III).
Für den Definitionsbereich D gilt: 0<h<R.
Bestimmung des Extremwertes
Leite die Extremalfunktion (III) zweimal ab, um den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
V′(h)=31π⋅(R2−3h2)
V′′(h)=31π⋅(−6h)=−2πh<0
Setze die erste Ableitung gleich Null: 0=31π⋅(R2−3h2)⇒R2=3h2
Nach h aufgelöst erhält man: h=3R (IV).
Da h<R ist, gilt: h∈D.
Setze Gleichung (IV) in die zweite Ableitung ein: V′′(3R)=−2π⋅3R<0
Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist der Extremwert ein Maximum.
Bestimmung des Kegelgrundkreisradius
Setzt man h=3R in r2=R2−h2 ein,
so erhält man: r2=R2−(3R)2=32⋅R2
Zieht man nun die Wurzel aus r2, so erhält man für den Radius r des Grundkreises des Kegels: r=32⋅R (V)
Bestimmung des Mittelpunktwinkels
Für die Bogenlänge b des ausgeschnittenen Kreissektors gilt: b=180∘R⋅π⋅φ
Die Bogenlänge b ist der Umfang des Kegelgrundkreises mit dem Radius r.
b=180∘R⋅π⋅φ=2πr⇒ nach φ aufgelöst:
φ=Rr⋅360∘ (VI).
Setzt man Gleichung (V) r=32⋅R in Gleichung (VI) ein,
erhält man φ