Aufgaben
Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung g(x)=x+1\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm x+1 hat vom Punkt T(3    1)\mathrm T\left(3\;\left|\;-1\right.\right) minimalen Abstand?
Wie groß ist dieser minimale Abstand?
Fertige zunächst eine Skizze an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe lösen

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.
Die Zielfunktion der Extremwertaufgabe ist der Abstand zweier Punkte. Damit ergibt sich die Zielfunktion (über den Satz des Pythagoras) als eine Wurzelfunktion.
Da für diejenigen Punkte, für die ihr Abstand minimal oder maximal wird auch das Quadrat ihres Abstands ein Extremum ergibt, verwendet man der Bequemlichkeit halber - z.B. für die einfachere Berechnung der Ableitung - das Quadrat des Abstandes als Zielfunktion.
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Darstellung und Analyse des Funktionsgraphen
Zielfunktion
Abstand der Punkte PP und TT.
Nebenbedingung
Der Punkt PP liegt auf der Geraden
y=x+1y=x+1
Berechne die Zielfunktion mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
TP2(xP;yP)\overline{TP}^2(x_P;y_P)==(3xP)2+(yP+1)2(3-x_P)^2+(y_P+1)^2
Setze die Geradengleichung für y ein.
TP2(xp)\overline{TP}^2(x_p)==(3xp)2+(xp+2)2(3-x_p)^2+(x_p+2)^2
Quadriere aus
TP2(xp)\overline{TP}^2(x_p)==96xp+xp2+xp2+4xp+49-6x_p+x_p^2+x_p^2+4x_p+4
Fasse zusammen
TP2(xp)\overline{TP}^2(x_p)==2(xp)22xp+132(x_p)^2-2x_p+13|\sqrt{}
Ziehe die Wurzel
TP(xP)\overline{TP}(x_P)==2(xP)22xP+13\sqrt{2(x_P)^2-2x_P+13}
Beachte für Extremwertaufgaben mit einer Abstandsbedingung:
Für alle Punkte, für die der Abstand minimal oder maximal wird, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal bzw. maximal, da gilt:
0<TP1<TP2    TP12<TP220 < \overline{TP_1} < \overline{TP_2} \;\Leftrightarrow \;\overline{TP_1}^2 < \overline{TP_2}^2.
Da die Ableitung für TP2\overline{TP}^2 bequemer zu berechnen ist, als für TP\overline{TP} (keine Wurzel!), benutzt man als Zielfunktion ab hier das Quadrat des Abstandes.
TP2(xP)\overline{TP}^2(x_P)==2(xP)22xP+132(x_P)^2-2x_P+13
Bilde die Ableitung
TP2(xP)\overline{TP}^2(x_P)'==4xP24x_P-2
Setze die Ableitung gleich Null
00==4xP24x_P-2|+2+2
22==4xP4x_P|:4:4
0,50{,}5==xpx_p
Berechne die 2. Ableitung der Zielfunktion, um dich zu versichern, dass xP=0,5x_P=0{,}5 ein Minimum des Quadrats des Abstandes liefert.
TP2(xP)=+4>0\overline{TP}^2(x_P)''=+4>0
xP=0,5\Rightarrow x_P=0{,}5
liefert Minimum.\text{liefert Minimum}.
Bestimme jetzt aus der Nebenbedingung yPy_P:
yP=0,5+1=1,5y_P=0{,}5+1=1{,}5
\Rightarrow P(0,51,5)P(0{,}5|1{,}5) ist der gesuchte Punkt.
Berechne abschließend TP\overline{TP}, nicht nur TP2\overline{TP}^2!!
Ergebnis:
Der minimale Abstand des Punktes T(31)T(3|-1) von der Geraden y=x+1y=x+1 beträgt:

TPLE=20,2520,5+13LE=12,5LE3,54LE.\overline{TP}\,\text{LE}=\sqrt{2\cdot 0{,}25-2\cdot 0{,}5+13}\,\text{LE}=\sqrt{12{,}5}\,\text{LE}\approx 3{,}54\,\text{LE}.

Alternative Lösung

Ohne Kenntnisse aus der Differenzialrechnung kannst du die Aufgabe auch mit einer geometrischen Überlegung lösen:
Der gesuchte Punkt der Geraden gg mit kleinstem Abstand zum Punkt TT ist der Lotfußpunkt FF vom Punkt TT auf die Gerade gg.
Er kann
a) als Gleitpunkt auf der Geraden oder
b) als Schnittpunkt zweier Geraden
berechnet werden.
Fällung des Lots auf den Funktionsgraphen
a) Der Lotfußpunkt FF als Gleitpunkt auf gg.
Wenn die Strecke [AF][AF] auf der Geraden gg senkrecht stehen soll, muss für deren Steigungen m[TF]m_{[TF]} und mgm_g gelten:
m[TF]mg=1\color{red}{m_{[TF]}\cdot m_g=-1}.
Also:
yF+1xF3=  m[TF]1=mg\underbrace{\dfrac{y_F+1}{x_F-3}}_{\color{red}{=\;m_{[TF]}}}\cdot \underbrace{1}_{\color{red}{=\,m_g}}==1-1
Setze die Geradengleichung für y ein
xF+2xF3\dfrac{x_F+2}{x_F-3}==1-1|(xF3)\cdot (x_F - 3)
xF+2x_F + 2==xF+3-x_F + 3|+xF2+ x_F -2
2xF2x_F==11|:2:2
xFx_F==0,50{,}5
Einzeichnung des Lotsfußpunktes
b) Der Lotfußpunkt FF liegt auf der Geraden gg, seine x-Koordinate hast du gerade berechnet, die y-Koordinate erhältst du durch einsetzen in gg:
yy==x+1x+ 1
yy ==0,5+10{,}5 + 1
yy==1,51{,}5
Im nachfolgenden Applet kannst du die Rechnung überprüfen, indem du den Geradenpunkt FF verschiebst.
GeoGebra
Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=0,5x22\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x^2-2 hat vom Punkt T(0    3,5)\mathrm T\left(0\;\left|\;3,5\right.\right) minimalen Abstand?
Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Bei dieser Aufgabe sollst du den minimalen Abstand eines Parabelpunktes von einem vorgegebenen Punkt "innerhalb" der Parabel als Extremwertaufgabe berechnen.
Graph Funktion Parabel
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Zielfunktion:
Abstand der beiden Punkte TT und PP.
Nebenbedingung:
Der Punkt PP liegt auf der Parabel.
Gib die Zielfunktion an. Benutze dazu den Satz des Pythagoras.
Gib die Funktionsgleichung der Nebenbedingung an.
TP2=xP2+(3,5yP)2\overline{TP}^2=x_P^2+(3,5-y_P)^2
TP=xP2+(3,5yP)2\overline{TP}=\sqrt{x_P^2+(3,5-y_P)^2}
Beachte: Für alle Punkte, für die der Abstand minimal wird, wird auch das Quadrat des Abstandes minimal.Deshalb nimmt man TP2\overline{TP}^2 als Zielfunktion.
Dies erleichtert die Rechnung.
Zielfunktion:
TP2=xP2+(3,5yP)2\overline{TP}^2=x_P^2+(3,5-y_P)^2
Nebenbedingung:
yP=0,5xP22y_P=0,5x_P^2-2
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
TP2(xP)=xP2+(3,50,5xP2+2)2\overline{TP}^2(x_P)=x_P^2+(3,5-0,5x_P^2\color{red}{+}2)^2
Fasse in der Klammer zusammen und quadriere mit der binomischen Formel.
TP2(xP)=0,25xP44,5xP2+30,25\overline{TP}^2(x_P)=0,25x_P^4-4,5x_P^2+30,25
Bilde die Ableitung
TP2(xP)=xP39xP\overline{TP}^2(x_P)'=x_P^3-9x_P
Setze die Ableitung gleich Null und löse die Gleichung.
xP39xP=0xP(xP29)=0xP1=0xP2=+3xP3=3\begin{array}{ccc}x_P^3-9x_P&=&0\\x_P(x_P^2-9)&=&0\\x_{P1}&=&0\\x_{P2}&=&+3\\x_{P3}&=&-3\end{array}
Untersuche, für welche der Lösungen die 2. Ableitung positiv ist, damit jeweils ein Minmum vorliegt
TP2(xP)=3xP29TP2(0)=9TP2(±3)=+18\begin{array}{lcc}\overline{TP}^2(x_P)''&=&3 x_P^2- 9\\\overline{TP}^2(0)''&=&-9\\\overline{TP}^2(\pm3)''&=&+18\end{array}
xP=0x_P=0 ergibt ein lokales Maximum des Abstandsquadrats.
xp=3x_p=-3 und xP=+3x_P=+3 liefern ein Minimum des Quadrat des Abstandes und damit auch ein Minimum des Abstands.
Gib die drei Punkte und den dazu gehörigen Abstand an.
Einsetzen der drei xPx_P-Werte in die Nebenbedingung:
y(0)=2y(0)=-2 \quad\Rightarrow P0(02)P_0(0|-2) und\text {und} TP0=30,25=5,5\quad\overline{TP_0}=\sqrt{30,25}=5,5
y(±3)=0,592=2,5y(\pm{3})=0,5\cdot9-2=2,5   \;\Rightarrow   P23(±32,5)\;P_{2|3}(\pm{3}|2,5) und TP2/3=0,25814,59+30,25=103,16\overline{TP_{2/3}}=\sqrt{0,25\cdot81-4,5\cdot9+30,25}=\sqrt{10}\approx3,16
Ergebnis:
Die beiden Punkte P1(32,5)P_1(-3|2,5) und P2(+32,5)P_2(+3|2,5) haben von der Parabel mit rund 3,16LE3,16\,\text{LE} den geringsten Abstand.
Im nachfolgenden Applet kannst du dies überprüfen indem du den Punkt PP verschiebst.
GeoGebra

Alternative Lösung

Bei dieser Lösung ermittelst du in Frage kommende Parabelpunkt über eine Betrachtung von Tangenten der Parabel.
Graph Funktion Parabel
Für die drei Extremumspunkte P1P_1, P2P_2 ,P3P_3 gilt:
Die jeweilige Verbindungsstrecke zum Punkt TT steht senkrecht auf der Parabeltangente.
Parabel: p(x)=0,5x22\quad\quad\quad\quad p(x)=0,5x^2-2
Tangentensteigung:  p(x)=x\;p'(x)=x
Gib die Steigung mm von [TP][TP] an.
m[TP]=y3,5x=0,5x25,5xx0\displaystyle m_{[TP]}=\frac{y-3,5}{x}=\frac{0,5x^2-5,5}{x}\quad x\neq0
Lotbedingung ansetzen!
m[TP]p(x)=1        x00,5x25,5xx=10,5x25,5=1x2=9x2/3=±3\begin{array}{ccc} m_{[TP]}\cdot p'(x)&=&-1\;\;\;\;x\neq0\\ \\ \dfrac{0,5x^2-5,5}{x}\cdot{x}&=&-1\\ \\0,5x^2-5,5&=&-1\\x^2&=&9\\x_{2/3}&=&\pm3\end{array}
Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.
Zusatz:
Auch für den Punkt P(02)P(0|-2) ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu TT.
Umsätze
Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhängig vom Preis pp. Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.
Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)
Der Umsatz (Verkaufserlös) U(p)U(p) ist als Produkt aus Absatz und Preis eine Wertgröße.
Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel nn Stück zu einem Stückpreis von pp\,€.
Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:
PAF    n(p)=12003pPAF\;\;n(p)=1200-3\cdot p
Bestimme den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Stückpreis p.
Für welchen Preis p ist der Umsatz maximal?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

In dieser Aufgabe aus dem Wirtschaftsleben sollst du den Zusammenhang zwischen Warenpreis und Verkaufserfolg, der am Umsatz gemessen wird, erfassen und den maximalen Umsatz als Extremwertaufgabe berechnen.
Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.
Gesucht: U(p)U(p) und optimaler Preis
Stelle die Zielfunktion UU auf: monatlicher Umsatz = Stückzahl mal Preis.
U(p)=n(p)pU(p)=n(p)\cdot p
Erkenne die Nebenbedingung, die durch die Preis-Absatz-Funktion PAFPAF gegeben ist.
PAFPAF:
n(p)=12003pDPAF=[0;400]n(p)=1200-3\cdot p\quad D_{PAF}=[0;400]
Bestimme die Extremalfunktion U(p)U(p), also den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Preis, indem du in UU die Nebenbedingung einsetzt.
U(p)=(1200    3p)p=1200p3p2U(p)=\left(1200\;-\;3\cdot p\right)\cdot p=1200p-3p^2
Berechne die erste und zweite Ableitung.
U(p)=12006p\displaystyle U'(p)=1200-6p
U(p)=6\displaystyle U''(p)=-6
Setze die erste Ableitung gleich Null und erkenne anhand der zweiten Ableitung, dass es sich um ein Maximum handelt.
U(p)=12006p=0\displaystyle U'(p)=1200-6p=0
p=200\displaystyle p=200
U(200)=6<0\displaystyle U''(200)=-6<0
Berechne UmaxU_{max}.
Umax=U(200)=(12003200)200=120000U_{max}=U(200)=(1200-3\cdot 200)\cdot 200=120\,000\,
Ergebnis:
Der maximale monatliche Umsatz der Firma beim Verkauf des Artikels beträgt 120000120\,000\,€ bei einem Stückpreis von 200200\,€.
Rechteck einbeschreiben
Dem abgebildeten Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.
Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Bei dieser Aufgabe ist einem Dreieck ein größtmögliches Rechteck einzubeschreiben. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe
Ein Rechteck einer anderen geometrischen Figur "einzubeschreiben", bedeutet, dass alle Eckpunkte des einzubeschreibenden Rechtecks auf den Randlinien der größeren Figur liegen sollen.
einbeschriebene Figuren
Wenn ein Rechteck einem Dreieck einbeschrieben ist, muss mindestens eine Rechtecksseite auf einer Dreiecksseite liegen.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck können zwei Rechtecksseiten auf den Katheten liegen.
Stumpfwinkligen Dreiecken können Rechtecke nur über der längsten Seite einbeschrieben werden.
Rechtecke im stumpfwinkligen Dreieck
Wenn du eine Rechtecksseite auf die Grundlinie des Dreiecks legst, bedeutet die Forderung des "Einbeschreibens", dass die beiden weiteren Rechteckspunkte PP und QQ jeweils auf den anderen Seiten des Dreiecks liegen. Dies ergibt zwei Nebenbedingungen für die Extremwertaufgabe.
Da der Flächeninhalt maximiert werden soll, benötigst du zunächst als Zielfunktion die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, in die du dann die Nebenbedingungen "einarbeiten" musst.
Rechteck in Dreieck
Zielfunktion
A(a;b)=abA(a;b)=a\cdot b mit a=xPxQ  (daxQ<0)a=x_P\color{red}{-}x_Q\;(\text{da}\,x_Q<0) und b=yPb=y_P also:
A(xP;yP;xQ)=(xPxQ)yPA(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P
1. Nebenbedingung
P(xPyP)P(x_P|y_P) liegt auf der Geraden pp.
Stelle die Gleichung der Geraden pp mit Hilfe der Punkte B(60)B\left(6|0\right) und C(04)C\left(0|4\right) auf.
mP=4006=23\displaystyle m_P=\frac{4-0}{0-6}=-\frac23
t=4t=4
(1)  p:yP=23xP+4\Rightarrow\,(1)\;p:\,y_P=-\dfrac23\cdot x_P+4
Gib nun die 2. Nebenbedingung an.
2. Nebenbedingung
Q(xQyP)Q(x_Q|\color{red}{y_P}) liegt auf der Geraden qq.
Stelle die Gleichung der Geraden qq mit Hilfe der Punkte A(20)A\left(-2|0\right) und C(04)C\left(0|4\right) auf.
mQ=400+2=+2\displaystyle m_Q=\frac{4-0}{0+2}=+2
t=4t=4
  (2)  q:yP=2xQ+4\Rightarrow\;(2)\;q:\,y_P=2\cdot x_Q+4
Löse nach xQx_Q auf.
ypy_p==2xQ+42\cdot x_Q+4|4-4
yp4y_p - 4==2xQ2\cdot x_Q|:2:2
0,5yP20{,}5y_P - 2==xQx_Q
Setze für yPy_P den Term aus (1) ein.
0,5(23xP+4)20{,}5(-\dfrac23 x_P+4)-2==xQx_Q
Multipliziere die Klammer aus
13xP-\dfrac13 x_P==xQx_Q
Setze yP=23xP+4y_P=-\dfrac23 \cdot x_P+4 und xQ=13xPx_Q=-\dfrac13 \cdot x_P in die Zielfunktion A(xP;yP;xQ)=(xPxQ)yPA(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P ein, um die Zielfunktion in Abhängigkeit der einzigen Variablen xPx_P zu erhalten.
A(xP)A(x_P)==(xP+13xP)(23xP+4)(x_P+\dfrac13 x_P)\cdot (-\dfrac23 x_P+4)
==43xP(23xP+4)\dfrac43x_P\cdot (-\dfrac23x_P + 4)
Multipliziere aus
==89xP2+163xP-\dfrac89x_P^2+\dfrac{16}{3}x_P
D=]0;6[\mathbb{D}=]0;6[
Bilde die Ableitung A(xP)A'(x_P).
A(xP)=169xP+163\displaystyle A'(x_P)=-\frac{16}{9}x_P+\frac{16}{3}
Setze A(xP)A'(x_P) gleich Null und löse die Gleichung.
00==169xP+163-\dfrac{16}{9}x_P+\dfrac{16}{3}|+169xP+ \dfrac{16}{9}x_P
169xP\dfrac{16}{9}x_P==163\dfrac{16}{3}|:169:\dfrac{16}{9}
xPx_P==33
Überprüfe mit der 2. Ableitung, ob sich für xP=3x_P=3 tatsächlich ein Maximum ergibt.
A(x)=169A''(x)=-\dfrac{16}{9}
A(x)A''(x) ist eine konstante Funktion. Somit ist auch A(3)<0A''(3)<0 und xP=3x_P=3 ergibt eine größtmögliche Rechtecksfläche.
Setze xP=3x_P=3 in die Fläche A(xP)A(x_P) ein.
Flächeninhalt:
A(xP)=89xP2+163xP\displaystyle A(x_P)=-\frac89\cdot x_P^2 +\frac{16}{3}\cdot x_P
\Rightarrow
A(3)=899+1633=8\displaystyle A(3)=-\frac89 \cdot 9+\frac{16}{3} \cdot 3=8
Setze xP=3x_P=3 auch noch in die 1. Nebenbedingung ein, um die 2. Koordinate des Eckpunktes P zu erhalten.
Nebenbedingung:
yP=23xP+4\displaystyle y_P=-\frac23 \cdot x_P+4
yP=233+4=2\Rightarrow\quad y_P=-\dfrac23 \cdot 3+4=2
Ergebnis:
Mit dem Eckpunkt P(32)P(3|2) ist das größtmögliche Rechteck in das Dreieck einbeschrieben und hat den Flächeninhalt 8LE28\,\text{LE}^2.

Alternative Lösung 1

Lösungsparabel
Der Graph der Zielfunktion A(x)=89x2+163x,D=]0;6[\displaystyle A(x)=-\frac89 x^2+\frac{16}{3}x,\quad\mathbb{D}=]0;6[
ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Ihr Maximum ist der Scheitelpunkt. Diesen kann man - außer über die Ableitung von A(x)A(x) - durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.
A(x)A(x)==89x2+163x-\dfrac89x^2+\dfrac{16}{3}x
Klammere 89\displaystyle -\frac89 aus.
==89(x26x)-\dfrac89 (x^2-6x)
==89(x26x+32)+8-\dfrac89 (x^2-6x \color{red}{+3^2})\color{red}{+8}
A(x)A(x)==89(x3)2+8-\dfrac89 (x-3)^2+8
Lies den Scheitelpunkt ab S(38)\Rightarrow S(3|8)
Dessen 2. Koordinate liefert den gesuchten maximalen Flächeninhalt eines dem Dreieck einbeschriebenen Rechtecks.
Amax=8  LE2A_{max}=8\;\text{LE}^2
Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Punktes P das Ergebnis kontrollieren.
GeoGebra

Alternative Lösung 2

Die gestellte Aufgabe lässt eine verblüffend einfache Lösung zu. Dabei wird das Koordinatensystem nicht benötigt, sondern sie ergibt sich aus dem Strahlensatz.
Entscheidend für diese Möglichkeit ist, dass vom Dreieck ABCABC neben der Grundlinie AB=8LE\overline{AB}=8\,\text{LE} die Höhe auf diese Seite mit h=y(C)=4LEh=y(C)=4\,\text{LE} gegeben ist.
Strahlensatzfigur
Zielfunktion ist die Formel für die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen aLEa\,LE und bLEb\,LE. Also:
A(a;b)=abA(a;b)=a\cdot b
Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz
Benutze den Strahlensatz und erhalte:
a8\dfrac{a}{8}==4b4\dfrac{4-b}{4}|4\cdot 4
0,5a0{,}5a==4b4-b|+b0,5a+ b - 0{,}5a
bb==0,5a+40{,}5a + 4
Setze bb in A(a;b)A(a;b) ein.
A(a)=a(12a+4)A(a)=a\cdot (-\dfrac 12 a+4)
A(a)=12a2+4aA(a)=-\dfrac 12 a^2+4a
Die Zielfunktion A(a)A(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb ergibt die y-Koordinate des Scheitelpunktes den maximal möglichen Flächeninhalt einbeschriebener Rechtecke.
Den Scheitelpunkt berechnest du über die Ableitung von A(a)A(a) oder mit einer quadratischen Ergänzung.
Ableitung von A(a)A(a)
A(a)=a+4A'(a)=-a+4
A(a)=0a=4A'(a)=0\,\Rightarrow\,a=4
Amax=8\Rightarrow\,A_{max}=8
quadratische Ergänzung
A(a)=12(a28a+42)+8A(a)=-\frac{1}{2}(a^2-8a\color{red}{+4^2})\color{red}{+8}
=12(a4)2+8=-\frac 12(a-4)^2+8
S(48)\Rightarrow\,S(4|8)

Vertiefung der Aufgabe

In der gegebenen Aufgabenstellung soll das Rechteck dem Dreieck ABCABC so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundseite [AB][AB] liegt.
Natürlich kann man Rechtecke auch so einbeschreiben, dass eine Rechteckseite auf einer der beiden anderen Dreieckseiten liegt.
Dann stellt sich die Frage: Haben die maximal möglichen Flächeninhalte auch bei den beiden anderen Lagen den gleichen Wert?
Dass dies tatächlich so ist, kannst du am folgenden Applet nachvollziehen, indem du die unterschiedlichen Gleitpunkte P1P_1, P2P_2 oder P3P_3 verschiebst.
GeoGebra
Es gibt viele Zahlenpaare positiver Zahlen, deren Produktwert 0,64 beträgt.

a) Gib 10 solcher Zahlenpaare an.
b) Ermittle dasjenige Zahlenpaar, das den kleinsten Summenwert besitzt.

Teilaufgabe a

Für diese Teilaufgabe gibt es viele Lösungen. Du kannst zum Beispiel diese 10 Zahlenpaare angeben:

(0,1|6,4), (0,8|0,8), (1|0,64), (2|0,32), (4|0,16), (8|0,08), (10|0,064), (16|0,04), (32|0,02), (64|0,01).


Teilaufgabe b

Ein allgemeines Zahlenpaar kannst du schreiben als (xy)(x|y) mit zwei Zahlen xx und yy, die du noch bestimmen musst.

Da nach jenem Zahlenpaar gesucht ist, dass den kleinsten Summenwert besitzt, musst du die Funktion f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y unter der Nebenbedingung xy=0,64 x \cdot y = 0,64 minimieren.

Löst du die Nebenbedingung nach yy auf, so erhältst du den Zusammenhang
y=0,64x,\displaystyle y = \frac{0,64}{x},
den du in die Funktion ff einsetzen kannst. Das bedeutet:
f(x)=x+y=x+0,64x.\displaystyle  f(x) = x + y = x + \frac{0,64}{x}.
Gesucht ist also das Minimum dieser Funktion. Kandidaten für Extremstellen von ff sind als Nullstellen von f(x)f'(x) gegeben. Die erste Ableitung von ff berechnet sich zu
f(x)=10,64x2.\displaystyle f'(x) = 1 - \frac{0,64}{x^2}.
Setzt du das eben berechnete f(x)f'(x) gleich null, so erhältst du als Lösungen
x1,2=±0,64=±0,8.\displaystyle x_{1,2} = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8.
Da nach einem Zahlenpaar positiver Zahlen gesucht ist, kannst du die negative Lösung vernachlässigen. Um die Art des Extremums zu verifizieren (gesucht ist ja ein Minimum), berechnest du die zweite Ableitung. Sie ist gegeben durch
f(x)=1,28x3.\displaystyle f''(x) = \frac{1,28}{x^3}.
Setzt du x=0,8x = 0,8 in f(x)f''(x) ein, erkennst du, dass
f(0,8)=2,5>0\displaystyle f''(0,8) = 2,5 > 0
gilt, sodass bei x=0,8x = 0,8 tatsächlich ein Minimum von ff vorliegt.

Setzt du x=0,8x = 0,8 in die Nebenbedingung xy=0,64x \cdot y = 0,64 ein, so erhältst du
y=0,640,8=0,8.\displaystyle y = \frac{0,64}{0,8} = 0,8.
Das gesuchte Zahlenpaar (xy)(x|y) ist also (0,80,8)(0,8|0,8).
Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen aLEa\,LE und bLEb\,LE, ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite bb aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.
Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.
Welche Seitenlängen und welche Fläche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?
Die Aufgabe verlangt zur Lösung eine Fallunterscheidung hinsichtlich der allgemeinen Seitenlängen aLEa\,LE und bLEb\,LE und ist dadurch anspruchsvoll.
Löse die Aufgabe deshalb zunächst für konkrete Werte. Zum Beispiel für a=5LEa=5\,LE und b=4LEb=4\,LE oder a=6LEa=6\,LE und b=3LEb=3\,LE.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Bei dieser Aufgabe soll ein größtmöglicher Flächeninhalt bestimmt werden. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.
Die Scheibe sei höher als breit. Also gelte: a>ba>b.
Das abgeschnittene Stück der Scheibe ist wegen des Neigungswinkels von 45° ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von b/2LEb/2\,LE.
Die gesuchte rechteckige "Ersatzscheibe" habe die Seitenlängen xLEx\,LE und yLEy\,LE und entsteht von einem Punkt PP aus, der auf der abgebrochenen Schnittkante variiert.
Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt A(x;y)A(x;y) eines Rechtecks mit den Seiten xLEx\,LE und yLEy\,LE:
A(x;y)=xyA(x;y)=x\cdot y,
wobei
b2xb\dfrac{b}{2}\le x\le b und ab2yaa-\dfrac{b}{2}\leq y \leq a
Grafische Veranschaulichung
gebrochene Fensterscheibe
Die Nebenbedingungen für PP ergeben sich aus dessen variabler Lage auf der Schnittkante und können mit einem variablen Parameter tt so angegeben werden:
x=b2+tx=\dfrac{b}{2}+t und\quad\text{und}
y=aty=a-t wobei  gilt\quad\text{wobei}\;\text{gilt}
0tb20 \leq t\leq \dfrac{b}{2}
Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein, um diese als Funktion der Variablen tt zu erhalten.
Zielfunktion
A(t)A\left(t\right)==(b2+t)(at)\left(\dfrac{b}{2}+t\right)\cdot\left(a-t\right)
Bilde - z.B. mit der Produktregel - die 1. Ableitung A(t)A'(t) und die 2. Ableitung A(t)A''(t).
DA(t)=[0;b/2]\mathbb{D}_{A(t)}=[0;b/2]==[0;b2]\left[0;\dfrac{b}{2}\right]
A´(t)A´\left(t\right)==2t+ab2-2t+a-\dfrac{b}{2}
Setze A(t)A'(t) gleich Null und löse die Gleichung.
A´´(t)A´´\left(t\right)==2-2
A´´(t)A´´\left(t\right)<<00
2t+ab2-2t+a-\dfrac{b}{2}==00
tt==a2b4\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}

Zwischenstand der Lösung:

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt wird von einem variablen Punkt P aus erzeugt, der auf der Strecke [S1;S2][S_1;S_2] liegen muss.
Damit ist der Definitionsbereich der Flächen-Zielfunktion A(t)A(t) auf das Intervall [0;b2][0;\dfrac{b}{2}] begrenzt.
A(t)A(t) ist wegen A(t)<0A''(t)<0 eine nach unten geöffnete Parabel und der errechnete Wert tmax=a2b4t_{max}=\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4} liefert ein lokales Maximum - also einen maximalen Flächeninhalt, aber nur dann, wenn der Wert im Intervall [0;b2][0;\dfrac{b}{2}] liegt.
Da a>ba>b ist jedenfalls tmax>0t_{max}>0.
tmaxt_{max} ist aber nicht für jedes Zahlenpaar aa und bb kleiner als b2\dfrac{b}{2}, da gilt:
a2b4\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}b2\dfrac{b}{2}
a2\dfrac{a}{2}34b\dfrac{3}{4}b
aa32b\dfrac{3}{2}b

Fallunterscheidung:

Fall 1: b<a32b\quad b<a\leq \dfrac{3}{2}b\quad ("a nicht zu groß")  tmax[0;b2]\Rightarrow\;t_{max}\in [0;\dfrac{b}{2}]
Fall 2:a>b2  \,\quad a>\dfrac{b}{2}\quad \;\, \quad\quad("a beliebig groß")  tmax[0;b2]\Rightarrow\;t_{max}\notin[0;\dfrac{b}{2}]
Setze tmaxt_{max} in A(t)A(t) ein.

Fall 1:

  b<a32b\;b<a\leq \dfrac{3}{2}b
tmaxt_{max} liefert lokales Maximum
A(tmax)A\left(t_{\max_{ }}\right)==(b2+a2b4)(aa2+b4)\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}\right)\cdot\left(a-\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}\right)
==(b4+a2)(a2+b4)\left(\dfrac{b}{4}+\dfrac{a}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}\right)
==(a2+b4)2\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}\right)^2
Die Seitenlängen der Ersatzscheibe sind:
x=b2+tmax=b2+a2b4=a2+b4x=\dfrac{b}{2}+t_{max}=\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}=\dfrac{a}{2}+ \dfrac{b}{4}
y=atmax=aa2+b4=a2+b4y=a-t_{max}=a-\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}= \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}