Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung

Die Zielfunktion bei dieser Aufgabe ist das Volumen eines Kegels:

Die Nebenbedingung ergibt sich aus der obigen rechten Abbildung.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

Die Volumenfunktion $V$ hängt sowohl von $r$ als auch von $h$ ab, d.h. $V(r,h)$.

Um die Nebenbedingung in die Zielfunktion einzusetzen kann man sie nach einer der beiden Variablen $r$ oder $h$ auflösen. Man hat somit zwei Lösungsvarianten.

Die einfachere dieser beiden Lösungsvarianten ergibt sich, wenn das Volumen $V$ des Kegels nur von der Kegelhöhe $h$ abhängig ist, d.h. es muss $V(h)$ bestimmt werden.

Lösungsvariante 1

Einsetzen in die Zielfunktion

Gleichung $$$\mathrm{(II)}$ wird nach $r$ bzw. gleich nach $r^2$ aufgelöst: $r^2=R^2-h^2$.

Dieses $r^2$ wird nun in die Zielfunktion $\mathrm{(I)}$ eingesetzt um die Extremalfunktion als Funktion von $h$ zu erhalten:

$V(h) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot (R^2-h^2)\cdot h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot (R^2h-h^3)$ $\mathrm{(III)}$.

Für den Definitionsbereich $\mathbb{D}$ gilt: $0<h<R$.

Bestimmung des Extremwertes

Leite die Extremalfunktion $\mathrm{(III)}$ zweimal ab, um den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.

$V'(h)=\dfrac{1}{3}\pi\cdot (R^2-3h^2)$

$V''(h) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot (-6h)= -2\pi h<0$

Setze die erste Ableitung gleich Null: $0=\dfrac{1}{3}\pi\cdot (R^2-3h^2)\Rightarrow R^2=3h^2$

Nach $h$ aufgelöst erhält man: $h=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ $\mathrm{(IV)}$.

Da $h \lt R$ ist, gilt: $h \in \mathbb{D}$.

Setze Gleichung $\mathrm{(IV)}$ in die zweite Ableitung ein: $V''(\dfrac{R}{\sqrt{3}}) = -2\pi\cdot \dfrac{R}{\sqrt{3}}<0$

Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist der Extremwert ein Maximum.

Bestimmung des Kegelgrundkreisradius

Setzt man $h=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ in $r^2=R^2-h^2$ ein,

so erhält man: $r^2 = R^2-(\dfrac{R}{\sqrt{3}})^2= \dfrac{2}{3}\cdot R^2$

Zieht man nun die Wurzel aus $r^2$, so erhält man für den Radius $r$ des Grundkreises des Kegels: $r= \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot R$ $\mathrm{(V)}$

Bestimmung des Mittelpunktwinkels

Für die Bogenlänge $b$ des ausgeschnittenen Kreissektors gilt: $b=\dfrac{R \cdot \pi \cdot \varphi}{180^\circ}$

Die Bogenlänge $b$ ist der Umfang des Kegelgrundkreises mit dem Radius $r$.

$b=\dfrac{R \cdot \pi \cdot \varphi}{180^\circ}=2\pi r\Rightarrow$ nach $\varphi$ aufgelöst:

$\varphi =\dfrac{r\cdot 360^\circ}{R}$ $\mathrm{(VI)}$.

Setzt man Gleichung $\mathrm{(V)}$ $r= \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot R$ in Gleichung $\mathrm{(VI)}$ ein,

erhält man $\varphi = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 360^\circ \approx 293{,}94^\circ$

Anmerkung: Der Winkel $\varphi$ ist von $R$ unabhängig.

Das maximale Volumen in Abhängigkeit von $R$

Setzt man die Gleichungen $\mathrm{(IV)}$ und $\mathrm{(V)}$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein, so erhält man das maximale Volumen:

$V_{max}=\dfrac{2}{9\cdot \sqrt{3}}\cdot\pi\cdot R^3$

Beantwortung der Ausgangsfrage

Die Popkorntüte hat ein maximales Volumen, wenn aus dem Kreis mit Radius $R$ ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $\varphi \approx 293{,}94^\circ$ ausgeschnitten wird.

Der Radius des Kegelgrundkreises beträgt $r= \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot R$.

Die Höhe des Kegels beträgt $h=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ und sein maximales Volumen ist

$V_{max}=\dfrac{2}{9\cdot \sqrt{3}}\cdot\pi\cdot R^3$.

Lösungsvariante 2

Einsetzen in die Zielfunktion

Löst man Gleichung $\mathrm{(II)}$ nach $h$ auf, erhält man: $h=\sqrt{R^2-r^2}$ $\mathrm{(VII)}$

Setzt man Gleichung $\mathrm{(VII)}$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein, erhält man das Volumen in Abhängigkeit von $r$: $V(r) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot\sqrt{R^2-r^2} \mathrm{(VIII)}$

Für den Definitionsbereich $\mathbb{D}$ gilt: $0 \lt r\lt R$.

Anmerkung: Für $r=0$ und $r=R$ ist das Volumen gleich Null.

Bestimmung des Extremwertes

Leite die Extremalfunktion $\mathrm{(VIII)}$ zweimal ab, um den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können. Für diese Ableitung benötigst du die Produktregel, die Ableitung einer Wurzel und die Kettenregel. Der Rechenaufwand für diese Ableitung ist relativ hoch. Mit einem Rechentrick kann man den Rechenaufwand verringern. Der Funktionsterm wird so umgeformt, dass der Term $r^2$ unter die Wurzel gezogen wird. Man erhält Gleichung $\mathrm{(IX)}$.

$V(r) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot \sqrt{r^4(R^2-r^2)}=\dfrac{1}{3}\pi\cdot \sqrt{R^2 \cdot r^4-r^6}$ $\mathrm{(IX)}$

Für die Ableitung von Gleichung $\mathrm{(IX)}$ genügt die Betrachtung des Radikanden.

Nimmt der Radikand einen maximalen Wert an, so ist auch die Wurzel aus diesem maximalen Radikanden ebenfalls maximal. Damit ist auch $V(r)$ maximal.

Wir betrachten nun den Radikanden als Funktion von $r$.

$f(r) = R^2 \cdot r^4 - r^6$ und suchen das Maximum dieser Funktion.

$f'(r) = 4 \cdot R^2 \cdot r^3 - 6 \cdot r^5$

$f''(r) = 12 \cdot R^2 \cdot r^2 - 30 \cdot r^4$

Setze die erste Ableitung gleich Null:

$0= 4 \cdot R^2 \cdot r^3 - 6 \cdot r^5=2 \cdot r^3(2 \cdot R^2-3 \cdot r^2)$

Die Gleichung hat die Lösungen $r=0$ (entfällt hier, da $V(0)=0$) und die Lösung

$r= \sqrt{ \dfrac{2}{3}} \cdot R$ $\mathrm{(X)}$

Da $0 \lt r \lt R$ ist, gilt $r \in \mathbb{D}$.

Zur Überprüfung, ob es sich um ein Maximum handelt, setze Gleichung $\mathrm{(X)}$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(\sqrt{ \dfrac{2}{3}} \cdot R) = 12 \cdot R^2 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot R^2 - 30 \cdot \dfrac{4}{9} \cdot R^4=8 \cdot R^4- \dfrac{40}{3} \cdot R^4 =$

$- \dfrac{16}{3} \cdot R^4 \lt 0$

Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist der Extremwert ein Maximum.

Bestimmung der Höhe des Kegels

In Gleichung $\mathrm{(VII)}$ $h=\sqrt{R^2-r^2}$ wird die Gleichung $\mathrm{(X)}$ $r= \sqrt{ \dfrac{2}{3}} \cdot R$ eingesetzt:

$h=\sqrt{R^2- \dfrac{2}{3} \cdot R^2} =\sqrt{\dfrac {1}{3}R^2} = \dfrac{R}{\sqrt{3}}$ $\mathrm{(XI)}$

Bestimmung des Mittelpunktswinkels

In Gleichung $\mathrm{(VI)}$ $\varphi =\dfrac{r\cdot 360^\circ}{R}$ wird die Gleichung $\mathrm{(X)}$ $r= \sqrt{ \dfrac{2}{3}} \cdot R$ eingesetzt $\Rightarrow$ $\varphi = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 360^\circ \approx 293{,}94^\circ$.

Anmerkung: der Winkel $\varphi$ ist von $R$ unabhängig.

Das maximale Volumen in Abhängigkeit von $R$

Setzt man die Gleichung $\mathrm{(X)}$ $r= \sqrt{ \dfrac{2}{3}} \cdot R$ in Gleichung $\mathrm{(VIII)}$ ein, so erhält man das maximale Volumen in Abhängigkeit von $R$: $V_{max}=\dfrac{2}{9\cdot \sqrt{3}}\cdot\pi\cdot R^3$ .

Beantwortung der Ausgangsfrage

Die Popkorntüte hat ein maximales Volumen, wenn aus dem Kreis mit Radius $R$ ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $\varphi \approx 293{,}94 ^\circ$ ausgeschnitten wird.

Der Radius des Kegelgrundkreises ist $r= \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot R$.

Die Höhe des Kegels beträgt $h=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ und sein maximales Volumen ist

$V_{max}=\dfrac{2}{9\cdot \sqrt{3}}\cdot\pi\cdot R^3$.

Beispiel

Für einen Kreisradius von $R = 10\, \mathrm{cm}$ ergibt sich ein Kegelgrundkreisradius von

$r \approx 8{,}16\, \mathrm{cm}$, eine Kegelhöhe von $h \approx 5{,}77\, \mathrm{cm}$ und ein Mittelpunktswinkel

von $φ = 293{,}94^\circ$  .

Das maximale Volumen in diesem Beispiel beträgt $V_{max}\approx 403{,}07\, \mathrm{cm^3}.$