Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.

Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.

Zielfunktion

Abstand der Punkte $PP$ und $TT$.

Nebenbedingung

Der Punkt $PP$ liegt auf der Geraden

$y=x+1y=x+1$

Berechne die Zielfunktion mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.

Beachte für Extremwertaufgaben mit einer Abstandsbedingung:

Für alle Punkte, für die der Abstand minimal oder maximal wird, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal bzw. maximal, da gilt:

.

Da die Ableitung für ${\overline{TP}}^2\backslash overline\{TP\}^2$ bequemer zu berechnen ist, als für $\overline{TP}\backslash overline\{TP\}$ (keine Wurzel!), benutzt man als Zielfunktion ab hier das Quadrat des Abstandes.

Berechne die 2. Ableitung der Zielfunktion, um dich zu versichern, dass $x_P=\mathrm{0,5}x\_P=0\{,\}5$ ein Minimum des Quadrats des Abstandes liefert.

${\overline{TP}}^2(x_P{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=+4>0\backslash overline\{TP\}^2(x\_P)\text{'}\text{'}=+4>0$

$\Rightarrow x_P=\mathrm{0,5}\backslash Rightarrow\; x\_P=0\{,\}5$

$\text{liefert Minimum}\mathrm{.}\backslash text\{liefert\; Minimum\}.$

Bestimme jetzt aus der Nebenbedingung $y_{P}y\_P$:

$y_P=\mathrm{0,5}+1=\mathrm{1,5}y\_P=0\{,\}5+1=1\{,\}5$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $P(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }\mathrm{1,5})P(0\{,\}5|1\{,\}5)$ ist der gesuchte Punkt.

Berechne abschließend $\overline{TP}\backslash overline\{TP\}$, nicht nur ${\overline{TP}}^2\backslash overline\{TP\}^2$!!

Ergebnis:

Der minimale Abstand des Punktes $T(3\mathrm{\mid }-1)T(3|-1)$ von der Geraden $y=x+1y=x+1$ beträgt:

$\overline{TP}\text{LE}=\sqrt{2\cdot \mathrm{0,25}-2\cdot \mathrm{0,5}+13}\text{LE}=\sqrt{\mathrm{12,5}}\text{LE}\approx \mathrm{3,54}\text{LE}\mathrm{.}\backslash overline\{TP\}\backslash ,\backslash text\{LE\}=\backslash sqrt\{2\backslash cdot\; 0\{,\}25-2\backslash cdot\; 0\{,\}5+13\}\backslash ,\backslash text\{LE\}=\backslash sqrt\{12\{,\}5\}\backslash ,\backslash text\{LE\}\backslash approx\; 3\{,\}54\backslash ,\backslash text\{LE\}.$

Alternative Lösung

Ohne Kenntnisse aus der Differenzialrechnung kannst du die Aufgabe auch mit einer geometrischen Überlegung lösen:

Der gesuchte Punkt der Geraden $gg$ mit kleinstem Abstand zum Punkt $TT$ ist der Lotfußpunkt $FF$ vom Punkt $TT$ auf die Gerade $gg$.

Er kann

a) als Gleitpunkt auf der Geraden oder

b) als Schnittpunkt zweier Geraden

berechnet werden.

a) Der Lotfußpunkt $FF$ als Gleitpunkt auf $gg$.

Wenn die Strecke $[AF][AF]$ auf der Geraden $gg$ senkrecht stehen soll, muss für deren Steigungen $m_{[TF]}m\_\{[TF]\}$ und $m_{g}m\_g$ gelten:

$m_{[TF]}\cdot m_g=-1\backslash color\{red\}\{m\_\{[TF]\}\backslash cdot\; m\_g=-1\}$.

Also:

b) Der Lotfußpunkt $FF$ liegt auf der Geraden $gg$, seine x-Koordinate hast du gerade berechnet, die y-Koordinate erhältst du durch einsetzen in $gg$:

Im nachfolgenden Applet kannst du die Rechnung überprüfen, indem du den Geradenpunkt $FF$ verschiebst.