Weitere Aufgaben zu Extremwertproblemen

Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung $\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm x+1$ hat vom Punkt $\mathrm T\left(3\;\left|\;-1\right.\right)$ minimalen Abstand?

Wie groß ist dieser minimale Abstand?

Fertige zunächst eine Skizze an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe lösen

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.

Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.

Darstellung und Analyse des Funktionsgraphen

Zielfunktion

Abstand der Punkte $P$ und $T$ .

Nebenbedingung

Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden

$y = x + 1$

Berechne die Zielfunktion mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.

$\displaystyle \overline{TP}^2(x_P;y_P)$	$=$	$\displaystyle (3-x_P)^2+(y_P+1)^2$
	↓	Setze die Geradengleichung für y ein.
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_p)$	$=$	$\displaystyle (3-x_p)^2+(x_p+2)^2$
	↓	Quadriere aus
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_p)$	$=$	$\displaystyle 9-6x_p+x_p^2+x_p^2+4x_p+4$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_p)$	$=$	$\displaystyle 2(x_p)^2-2x_p+13$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle \overline{TP}(x_P)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2(x_P)^2-2x_P+13}$

Beachte für Extremwertaufgaben mit einer Abstandsbedingung:

Für alle Punkte, für die der Abstand minimal oder maximal wird, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal bzw. maximal, da gilt:

$0 < \overline{TP_1} < \overline{TP_2} \;\Leftrightarrow \;\overline{TP_1}^2 < \overline{TP_2}^2$ .

Da die Ableitung für $\overline{TP}^2$ bequemer zu berechnen ist, als für $\overline{TP}$ (keine Wurzel!), benutzt man als Zielfunktion ab hier das Quadrat des Abstandes.

$\displaystyle \overline{TP}^2(x_P)$	$=$	$\displaystyle 2(x_P)^2-2x_P+13$
	↓	Bilde die Ableitung
$\displaystyle \overline{TP}^2(x_P)'$	$=$	$\displaystyle 4x_P-2$
	↓	Setze die Ableitung gleich Null
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x_P-2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 4x_P$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle x_p$

Berechne die 2. Ableitung der Zielfunktion, um dich zu versichern, dass $x_P=0{,}5$ ein Minimum des Quadrats des Abstandes liefert.

$\overline{TP}^2(x_P)''=+4>0$

$\Rightarrow x_P=0{,}5$

$\text{liefert Minimum}.$

Bestimme jetzt aus der Nebenbedingung $y_{P}$ :

$y_P=0{,}5+1=1{,}5$

$\Rightarrow$ $P (0,5 ∣ 1,5)$ ist der gesuchte Punkt.

Berechne abschließend $\overline{TP}$ , nicht nur $\overline{TP}^2$ !!

Ergebnis:

Der minimale Abstand des Punktes $T (3 ∣ - 1)$ von der Geraden $y = x + 1$ beträgt:

$\overline{TP}\,\text{LE}=\sqrt{2\cdot 0{,}25-2\cdot 0{,}5+13}\,\text{LE}=\sqrt{12{,}5}\,\text{LE}\approx 3{,}54\,\text{LE}.$

Alternative Lösung

Ohne Kenntnisse aus der Differenzialrechnung kannst du die Aufgabe auch mit einer geometrischen Überlegung lösen:

Der gesuchte Punkt der Geraden $g$ mit kleinstem Abstand zum Punkt $T$ ist der Lotfußpunkt $F$ vom Punkt $T$ auf die Gerade $g$ .

Er kann

a) als Gleitpunkt auf der Geraden oder

b) als Schnittpunkt zweier Geraden

berechnet werden.

Fällung des Lots auf den Funktionsgraphen

a) Der Lotfußpunkt $F$ als Gleitpunkt auf $g$ .

Wenn die Strecke $[A F]$ auf der Geraden $g$ senkrecht stehen soll, muss für deren Steigungen $m_{[TF]}$ und $m_{g}$ gelten:

$\color{red}{m_{[TF]}\cdot m_g=-1}$ .

Also:

$\displaystyle \underbrace{\dfrac{y_F+1}{x_F-3}}_{\color{red}{=\;m_{[TF]}}}\cdot \underbrace{1}_{\color{red}{=\,m_g}}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze die Geradengleichung für y ein
$\displaystyle \dfrac{x_F+2}{x_F-3}$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot (x_F - 3)$
$\displaystyle x_F + 2$	$=$	$\displaystyle -x_F + 3$	$\displaystyle + x_F -2$
$\displaystyle 2x_F$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x_F$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

b) Der Lotfußpunkt $F$ liegt auf der Geraden $g$ , seine x-Koordinate hast du gerade berechnet, die y-Koordinate erhältst du durch einsetzen in $g$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle x+ 1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}5 + 1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Im nachfolgenden Applet kannst du die Rechnung überprüfen, indem du den Geradenpunkt $F$ verschiebst.

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