Weitere Aufgaben zu Extremwertproblemen

Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen $a L E$ und $b L E$ , ist vom unteren Mittelpunkt der kleineren Seite $b$ aus, eine Ecke geradlinig unter einem Winkel von 45° abgesprungen.

Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große rechteckige Scheibe hergestellt werden.

Welche Seitenlängen und welche Fläche hat die "Ersatzscheibe"? In welchem Punkt setzen die Schnitte an?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Bei dieser Aufgabe soll ein größtmöglicher Flächeninhalt bestimmt werden. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.

Die Scheibe sei höher als breit. Also gelte: $a > b$ .

Das abgeschnittene Stück der Scheibe ist wegen des Neigungswinkels von 45° ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von $b / 2 L E$ .

Die gesuchte rechteckige "Ersatzscheibe" habe die Seitenlängen $x L E$ und $y L E$ und entsteht von einem Punkt $P$ aus, der auf der abgebrochenen Schnittkante variiert.

Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt $A (x; y)$ eines Rechtecks mit den Seiten $x L E$ und $y L E$ :

$A (x; y) = x \cdot y$ ,

wobei

$\frac{b}{2} \leq x \leq b$ und $a - \frac{b}{2} \leq y \leq a$

Grafische Veranschaulichung

Die Nebenbedingungen für $P$ ergeben sich aus dessen variabler Lage auf der Schnittkante und können mit einem variablen Parameter $t$ so angegeben werden:

$x = \frac{b}{2} + t$ $und$

$y = a - t$ $wobei gilt$

$0 \leq t \leq \frac{b}{2}$

Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein, um diese als Funktion der Variablen $t$ zu erhalten.

Zielfunktion

$A (t)$	$=$	$(\frac{b}{2} + t) \cdot (a - t)$
	↓	Bilde - z.B. mit der Produktregel - die 1. Ableitung $A^{'} (t)$ und die 2. Ableitung $A^{''} (t)$ .
$𝔻_{A (t)} = [0; b / 2]$	$=$	$[0; \frac{b}{2}]$
$A ´ (t)$	$=$	$- 2 t + a - \frac{b}{2}$
	↓	Setze $A^{'} (t)$ gleich Null und löse die Gleichung.
$A ´ ´ (t)$	$=$	$- 2$
$A ´ ´ (t)$	$<$	$0$
$- 2 t + a - \frac{b}{2}$	$=$	$0$
$t$	$=$	$\frac{a}{2} - \frac{b}{4}$

Zwischenstand der Lösung:

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt wird von einem variablen Punkt P aus erzeugt, der auf der Strecke $[S_{1}; S_{2}]$ liegen muss.

Damit ist der Definitionsbereich der Flächen-Zielfunktion $A (t)$ auf das Intervall $[0; \frac{b}{2}]$ begrenzt.

$A (t)$ ist wegen $A^{''} (t) < 0$ eine nach unten geöffnete Parabel und der errechnete Wert $t_{m a x} = \frac{a}{2} - \frac{b}{4}$ liefert ein lokales Maximum - also einen maximalen Flächeninhalt, aber nur dann, wenn der Wert im Intervall $[0; \frac{b}{2}]$ liegt.

Da $a > b$ ist jedenfalls $t_{m a x} > 0$ .

$t_{m a x}$ ist aber nicht für jedes Zahlenpaar $a$ und $b$ kleiner als $\frac{b}{2}$ , da gilt:

$\frac{a}{2} - \frac{b}{4}$	$\leq$	$\frac{b}{2}$
$\frac{a}{2}$	$\leq$	$\frac{3}{4} b$
$a$	$\leq$	$\frac{3}{2} b$

Fallunterscheidung:

Fall 1: $b < a \leq \frac{3}{2} b$ ("a nicht zu groß") $\Rightarrow t_{m a x} \in [0; \frac{b}{2}]$

Fall 2: $a > \frac{b}{2}$ ("a beliebig groß") $\Rightarrow t_{m a x} \notin [0; \frac{b}{2}]$

Setze $t_{m a x}$ in $A (t)$ ein.

Fall 1:

$b < a \leq \frac{3}{2} b$

$t_{m a x}$ liefert lokales Maximum

$A (t_{\max_{}})$	$=$	$(\frac{b}{2} + \frac{a}{2} - \frac{b}{4}) \cdot (a - \frac{a}{2} + \frac{b}{4})$
	$=$	$(\frac{b}{4} + \frac{a}{2}) \cdot (\frac{a}{2} + \frac{b}{4})$
	$=$	${(\frac{a}{2} + \frac{b}{4})}^{2}$

Die Seitenlängen der Ersatzscheibe sind:

$x = \frac{b}{2} + t_{m a x} = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} - \frac{b}{4} = \frac{a}{2} + \frac{b}{4}$

$y = a - t_{m a x} = a - \frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{a}{2} + \frac{b}{4}$

Die Ersatzscheibe ist demnach ein Quadrat.

Für den Punkt $P$ auf $[S_{1}; S_{2}]$ , von dem aus geschnitten wird gilt:

$S_{1} P = \sqrt{t^{2} + t^{2}} = \sqrt{2} (\frac{a}{2} - \frac{b}{4})$

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten $a = 5 L E$ und $b = 4 L E$ nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt $P$ längst der Bruchkante $[S_{1} S_{2}]$ .

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt $12,25 F E$ , für die (quadratische) Rechtecksseite $3,5 L E$ und für den Abstand des Punktes $P$ von $S_{1}$ den Wert $1,5 \cdot \sqrt{2} L E \approx 2,1 L E$

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Fall 2

$a > \frac{3}{2} b \Rightarrow t_{m a x} > \frac{b}{2} \Rightarrow t_{m a x} \notin [0; \frac{b}{2}]$

Damit liegt der Scheitelpunkt der Flächenparabel $A (t)$ rechts vom Intervall $[0; \frac{b}{2}]$ und $A (t)$ nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt $P$ mit dem rechtem Randpunkt $S_{2}$ zusammenfällt. Also für $t = \frac{b}{2}$ .

Demnach gilt hier:

$A_{m a x} = A (\frac{b}{2}) = b \cdot (a - \frac{b}{2})$ .

Die Seitenlängen für $A_{m a x}$ sind:

$x = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b$ und $y = a - \frac{b}{2}$ .

Für den erzeugenden Punkt $P$ gilt: $P = S_{2}$ .

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten $a = 6 L E$ und $b = 3 L E$ nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt $P$ längs der Bruchkante $[S_{1} S_{2}]$ .

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt $13,5 F E$ , bei den Seitenlängen von $a = 4,5 L E$ und $b = 3 L E$ .

Zusammenfassung

Die Aufgabe ist durch die notwendige Fallunterscheidung der Fenstermaße anspruchsvoll.

Falls die Fensterhöhe "nicht zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist ( $a \leq \frac{3}{2} b$ ), besitzt die Aufgabe ein lokales Maximum.

Falls die Fensterhöhe "zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist ( $a > \frac{3}{2} b$ ) ergibt sich ein Randmaximum.

Alternative Lösung

Die beschriebene Lösung hat für die variable Lage des Erzeugungspunktes $P$ auf der Bruchkante $[S_{1} S_{2}]$ seinen horizontalen Abstand $t$ vom Punkt $S_{1}$ als Parameter verwendet.

Für eine alternative Lösung der Aufgabe verzichten wir auf einen zusätzlichen Parameter und betrachten die Rechtecksseiten $x$ und $y$ als die Variablen des gesuchten maximalen Rechtecks und bestimmen die Nebenbedingung zwischen $x$ und $y$ aus dem Strahlensatz.

Die Zielfunktion lautet:

$A (x; y) = x \cdot y$ mit $x \in [b / 2; b]$

Die Nebenbedingung ergibt sich durch Anwendung des Strahlensatzes in der nebenstehenden Skizze:

\frac{x}{\frac{b}{2}}

=

\frac{a - y + \frac{b}{2}}{\frac{b}{2}}

\cdot \frac{b}{2}

$\Rightarrow$

$x$	$=$	$a - y + \frac{b}{2}$
$y$	$=$	$- x + a + \frac{b}{2}$

Grafische Veranschaulichung

Setze das Ergebnis der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$A (x)$	$=$	$x \cdot (- x + a + \frac{b}{2})$
	↓	Setze $A^{'} (x)$ gleich Null, um ein mögliches Maximum $x_{m}$ zu erhalten.
$A (x)$	$=$	$- x^{2} + (a + \frac{b}{2}) \cdot x$
	↓	mit $x \in [b / 2; b]$
$A ‘ (x)$	$=$	$- 2 x + (a + \frac{b}{2})$
$- 2 x_{m} + (a + \frac{b}{2})$	$=$	$0$
$x_{m}$	$=$	$\frac{a}{2} + \frac{b}{4}$

Zwischenstand der alternativen Lösung

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $x L E$ und $y L E$ .

Dabei muss $x$ eine Zahl aus dem Intervall $[b / 2; b]$ sein, damit der erzeugende Punkt $P$ auf der Strecke $[S_{1} S_{2}]$ liegt.

Durch die Nebenbedingung aus dem Strahlensatz ergibt sich mit $A (x) = - x^{2} + (a + \frac{b}{2}) x$ eine nach unten geöffnete Parabel und $x_{m} = \frac{a}{2} + \frac{b}{4}$ liefert ein lokales Maximum für die Rechtecksfläche - aber nur dann, wenn $x_{m}$ im Intervall $[b / 2; b]$ liegt.

Da gilt: $a > b$ , ist jedenfalls

$x_{m} = \frac{a}{2} + \frac{b}{4} > \frac{b}{3} + \frac{b}{4} > \frac{b}{2}$ .

$x_{m}$ ist aber nicht für jedes Zahlenpaar $a$ und $b$ kleiner als $b$ , da gilt:

$\frac{a}{2} + \frac{b}{4}$	$\leq$	$b$	$\cdot 4$
$2 a + b$	$\leq$	$4 b$
$a$	$=$	$\frac{3}{2} b$

Fallunterscheidung

Fall 1: $b < a \leq \frac{3}{2} b "a ist nicht zu groß" \Rightarrow x_{m} \in [\frac{b}{2}; b]$

Fall 2: $a > \frac{3}{2} b "a beliebig groß" \Rightarrow x_{m} \notin [\frac{b}{2}; b]$

Fall 1: $b < a \leq \frac{3}{2} b$

$x_{m}$ liefert lokales Maximum mit

$y_{m} = - \frac{a}{2} - \frac{b}{4} + a + \frac{b}{2}$

$y_{m} = \frac{a}{2} + \frac{b}{4}$

Setze $x_{m}$ in die Nebenbedingung ein, um $y_{m}$ zu bekommen. Setze beide Werte in $A (x_{m}; y_{m})$ ein , um die maximale Fläche zu berechnen.

Das maximale Rechteck ist demnach ein Quadrat mit der Seitenlänge $\frac{a}{2} + \frac{b}{4}$ .

Für die Fläche gilt: $A_{m a x} = (\frac{a}{2} + \frac{b}{4})^{2}$

Fall 2:

$a > \frac{3}{2} b \Rightarrow x_{m} > b \Rightarrow x_{m} \notin [\frac{b}{2}; b]$

Damit liegt der Scheitelpunkt der Parabel $A (x)$ rechts vom Intervall $[\frac{b}{2}; b]$ und $A (x)$ nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt $P$ mit dem rechten Randpunkt $S_{2}$ zusammenfällt. Also für $x_{m} = b$ .

Damit gilt für die Seitenlängen des gesuchten maximalen Rechtecks $x = b$ und $y = a - \frac{b}{2}$ .

Die maximale Fläche ist:

$A_{m a x} = b \cdot (a - \frac{b}{2})$

Die beiden folgenden Grafiken veranschaulichen die alternative Lösung der Aufgabe.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch → Was bedeutet das?

Zwischenstand der Lösung:

Fallunterscheidung:

Fall 1:

Zahlenbeispiel

Fall 2

Zahlenbeispiel

Zusammenfassung

Alternative Lösung

Zwischenstand der alternativen Lösung

Fallunterscheidung

Fall 1:b<a≤32b"a ist nicht zu groß"⇒xm∈[b2;b]

Fall 2: a>32b"a beliebig groß"⇒xm∉[b2;b]

Fall 1: b<a≤32b

Fall 2:

Fall 1: $b < a \leq \frac{3}{2} b "a ist nicht zu groß" \Rightarrow x_{m} \in [\frac{b}{2}; b]$

Fall 2: $a > \frac{3}{2} b "a beliebig groß" \Rightarrow x_{m} \notin [\frac{b}{2}; b]$

Fall 1: $b < a \leq \frac{3}{2} b$