Bei dieser Aufgabe soll ein größtmöglicher Flächeninhalt bestimmt werden. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.

Die Scheibe sei höher als breit. Also gelte: $a>b$.

Das abgeschnittene Stück der Scheibe ist wegen des Neigungswinkels von 45° ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von $b/2\,LE$.

Die gesuchte rechteckige "Ersatzscheibe" habe die Seitenlängen $x\,LE$ und $y\,LE$ und entsteht von einem Punkt $P$ aus, der auf der abgebrochenen Schnittkante variiert.

Zwischenstand der Lösung:

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt wird von einem variablen Punkt P aus erzeugt, der auf der Strecke $[S_1;S_2]$ liegen muss.

Damit ist der Definitionsbereich der Flächen-Zielfunktion $A(t)$ auf das Intervall $[0;\dfrac{b}{2}]$ begrenzt.

$A(t)$ ist wegen $A''(t)<0$ eine nach unten geöffnete Parabel und der errechnete Wert $t_{max}=\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}$ liefert ein lokales Maximum - also einen maximalen Flächeninhalt, aber nur dann, wenn der Wert im Intervall $[0;\dfrac{b}{2}]$ liegt.

Da $a>b$ ist jedenfalls $t_{max}>0$.

$t_{max}$ ist aber nicht für jedes Zahlenpaar $a$ und $b$ kleiner als $\dfrac{b}{2}$, da gilt:

Fallunterscheidung:

Fall 1: $\quad b<a\leq \dfrac{3}{2}b\quad$ ("a nicht zu groß")$\Rightarrow\;t_{max}\in [0;\dfrac{b}{2}]$

Fall 2:$\,\quad a>\dfrac{b}{2}\quad \;\, \quad\quad$("a beliebig groß")$\Rightarrow\;t_{max}\notin[0;\dfrac{b}{2}]$

Setze $t_{max}$ in $A(t)$ ein.

Die Seitenlängen der Ersatzscheibe sind:

$x=\dfrac{b}{2}+t_{max}=\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{4}=\dfrac{a}{2}+ \dfrac{b}{4}$

$y=a-t_{max}=a-\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}= \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$

Die Ersatzscheibe ist demnach ein Quadrat.

Für den Punkt $P$ auf $[S_1; S_2]$ , von dem aus geschnitten wird gilt:

$\displaystyle \overline{S_1P}=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}\left(\frac{a}{2}-\frac{b}{4}\right)$

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten $a=5\,LE$ und $b=4\,LE$ nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt $P$ längst der Bruchkante $[S_1S_2]$.

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt $12{,}25\;FE$, für die (quadratische) Rechtecksseite $3{,}5\,LE$ und für den Abstand des Punktes $P$ von $S_1$ den Wert $1{,}5\cdot \sqrt{2}\,LE\approx{2{,}1}\,LE$

Fall 2

$a>\dfrac{3}{2}b\Rightarrow\;t_{max}>\dfrac{b}{2}\Rightarrow\;t_{max}\notin [0;\dfrac{b}{2}]$

Damit liegt der Scheitelpunkt der Flächenparabel $A(t)$ rechts vom Intervall $[0;\dfrac{b}{2}]$ und $A(t)$ nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt $P$ mit dem rechtem Randpunkt $S_2$ zusammenfällt. Also für $t=\dfrac{b}{2}$.

Demnach gilt hier:

$A_{max}=A(\dfrac{b}{2})=b\cdot \left(a-\dfrac{b}{2}\right)$.

Die Seitenlängen für $A_{max}$ sind:

$x=\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}=b\quad$ und $\quad y=a-\dfrac{b}{2}$.

Für den erzeugenden Punkt $P$ gilt: $P=S_2$.

Zahlenbeispiel

Am nachfolgenden Applet kannst du die Aufgabe mit den Zahlenwerten $a=6\,LE$ und $b=3\,LE$ nachvollziehen. Verschiebe dazu den Erzeugungspunkt $P$ längs der Bruchkante $[S_1S_2]$.

Man erhält für den maximalen Flächeninhalt $13{,}5\,FE$, bei den Seitenlängen von $a=4{,}5\,LE$ und $b=3\,LE$.

Zusammenfassung

Die Aufgabe ist durch die notwendige Fallunterscheidung der Fenstermaße anspruchsvoll.

Falls die Fensterhöhe "nicht zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist ($a\leq \dfrac{3}{2}b$), besitzt die Aufgabe ein lokales Maximum.

Falls die Fensterhöhe "zu groß" gegenüber der Fensterbreite ist ($a>\dfrac{3}{2}b$) ergibt sich ein Randmaximum.

Alternative Lösung

Die beschriebene Lösung hat für die variable Lage des Erzeugungspunktes $P$ auf der Bruchkante $[S_1S_2]$ seinen horizontalen Abstand $t$ vom Punkt $S_1$ als Parameter verwendet.

Für eine alternative Lösung der Aufgabe verzichten wir auf einen zusätzlichen Parameter und betrachten die Rechtecksseiten $x$ und $y$ als die Variablen des gesuchten maximalen Rechtecks und bestimmen die Nebenbedingung zwischen $x$ und $y$ aus dem Strahlensatz.

Zwischenstand der alternativen Lösung

Die gesuchte Ersatzscheibe mit maximalem Flächeninhalt ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $x\,LE$ und $y\,LE$.

Dabei muss $x$ eine Zahl aus dem Intervall $[b/2;b]$ sein, damit der erzeugende Punkt $P$ auf der Strecke $[S_1S_2]$ liegt.

Durch die Nebenbedingung aus dem Strahlensatz ergibt sich mit $A(x)=-x^2+(a+\dfrac{b}{2})x$ eine nach unten geöffnete Parabel und $x_m=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$ liefert ein lokales Maximum für die Rechtecksfläche - aber nur dann, wenn $x_m$ im Intervall $[b/2;b]$ liegt.

Da gilt: $a>b$, ist jedenfalls

$x_m=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}>\dfrac{b}{3}+\dfrac{b}{4}>\dfrac{b}{2}$.

$x_m$ ist aber nicht für jedes Zahlenpaar $a$ und $b$ kleiner als $b$, da gilt:

Fallunterscheidung

Fall 1:$\quad b<a\leq\frac{3}{2}b\quad\text{"a ist nicht zu groß"}\;\Rightarrow\;x_m\in\,[\frac{b}{2};b]$

Fall 2: $a>\frac{3}{2}b\quad\text{"a beliebig groß"}\;\Rightarrow\;x_m\notin [\frac{b}{2};b]$

Das maximale Rechteck ist demnach ein Quadrat mit der Seitenlänge $\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4}$.

Für die Fläche gilt:$\quad A_{max}=(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{4})^2$

Fall 2:

$a>\dfrac{3}{2}b\quad\Rightarrow\quad x_m>b\quad\Rightarrow\quad x_m\notin [\dfrac{b}{2};b]$

Damit liegt der Scheitelpunkt der Parabel $A(x)$ rechts vom Intervall $[\dfrac{b}{2};b]$ und $A(x)$ nimmt in diesem Intervall streng monoton zu.

Die größte Fläche wird demnach - als Randextremum - angenommen, wenn der erzeugende Punkt $P$ mit dem rechten Randpunkt $S_2$ zusammenfällt. Also für $x_m=b$.

Damit gilt für die Seitenlängen des gesuchten maximalen Rechtecks $x=b$ und $y=a-\dfrac{b}{2}$.

Die maximale Fläche ist:

$A_{max}=b\cdot (a-\dfrac{b}{2})$

Die beiden folgenden Grafiken veranschaulichen die alternative Lösung der Aufgabe.