Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x)=3⋅x2f(x)=3\cdot x^2f(x)=3⋅x2 , die senkrecht zur Geraden h:2⋅y−3⋅x+6=0h:2\cdot y-3\cdot x+6=0h:2⋅y−3⋅x+6=0 ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangente ist eine Geradengleichung:
y=mx+ty=mx+ty=mx+t
Die Tangente soll senkrecht zur Geraden h:2y−3x+6=0h:2y-3x+6=0h:2y−3x+6=0 sein, stelle die Gleichung von hhh nun so um, dass du die Steigung ablesen kannst:
Die Steigung der Gerade hhh ist mh=32m_h=\frac32mh=23.
Die Tangente soll senkrecht zur Geraden hhh sein.
Darüber hinaus muss im Berührpunkt der Tangente und der Funktion fff die Steigung von fff gleich −23-\frac23−32 sein.
f′(x)=6xf^\prime(x)=6xf′(x)=6x
Damit berechnen wir die xxx-Koordinate des Berührpunktes P(x∣y)P(x\mid y)P(x∣y).
f′(x)=6x−23f^\prime(x)=6x\stackrel{!}{=}-\dfrac23f′(x)=6x=!−32
⇒x=−19\Rightarrow x=-\dfrac19⇒x=−91
Außerdem liegt P(−19∣y)P(-\dfrac19\mid y)P(−91∣y) auf fff.
f(−19)=3⋅(−19)2=127f(-\dfrac19)=3\cdot\left(-\dfrac19\right)^2=\dfrac1{27}f(−91)=3⋅(−91)2=271
Also ist P(−19∣127)P(-\dfrac19\mid\dfrac1{27})P(−91∣271).
Bestimmen des yyy-Achsen Abschnitts durch einsetzen von PPP in die Geradengleichung:
⇒\Rightarrow⇒ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung
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