Aufgaben zu der Tangente - lernen mit Serlo!

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An die Funktion $f (x) = - 0,2 \cdot (x - 2)^{2} - 2,5$ soll vom Punkt $P (0 | 3)$ aus eine Tangente mit negativer Steigung gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden

Stelle die Tangentengleichung auf. Sie hat die allgemeine Form:

$y = m x + t$

Der Punkt $P (0 | 3)$ liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Geradengleichung ein.

$3$	$=$	$m \cdot 0 + t$
$3$	$=$	$t$

Wir errechnen die Schnittpunkte der Geraden mit dem Graphen der Funktion $f :$

$m x + t$	$=$	$f (x)$
	↓	Setze $t = 3$ und $f (x) = - 0,2 \cdot (x - 2)^{2} - 2,5$ ein.
$m x + 3$	$=$	$- 0,2 \cdot (x - 2)^{2} - 2,5$
	↓	2. binomische Formel anwenden.
$m x + t$	$=$	$- 0,2 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) - 2,5$
	↓	Klammer auflösen.
$m x + 3$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 0,8 - 2,5$
$m x + 3$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 3,3$	$- 3$
$m x$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 6,3$	$- m x$
$0$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 6,3 - m x$
	↓	Umsortieren und einklammern.
$0$	$=$	$- 0,2 x^{2} + (0,8 - m) x - 6,3$	$\cdot (- 5)$
	↓	$\cdot (- 5)$ ist das Gleiche wie $: (- 0,2)$ .
$0$	$=$	$x^{2} - (4 - 5 m) x + 31,5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{(4 - 5 m) \pm \sqrt{{(- (4 - 5 m))}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 31,5}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{(4 - 5 m) \pm \sqrt{(4 - 5 m)^{2} - 126}}{2}$

Für Tangente muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Graphen der Funktion $f$ besitzen. Daher darf es nur eine Lösung der Mitternachtsformel geben.

Um nur eine Lösung für die Gleichung

x_{1,2} = \frac{(4 - 5 m) \pm \sqrt{(4 - 5 m)^{2} - 126}}{2}

zu erhalten muss die Diskriminante $D = (4 - 5 m)^{2} - 126$ gleich 0 sein.

$D = {(4 - 5 m)}^{2} - 126$	$=$	$0$	$+ 126$
${(4 - 5 m)}^{2}$	$=$	$126$	$\sqrt{}$
$4 - 5 m$	$=$	$\pm \sqrt{126}$	$- 4$
$- 5 m$	$=$	$\pm \sqrt{126} - 4$	$: (- 5)$
$m$	$=$	$\mp \frac{\sqrt{126}}{5} + \frac{4}{5}$
$m$	$=$	$\mp \frac{3 \sqrt{14}}{5} + \frac{4}{5}$
$m$	$=$	$\mp \frac{3}{5} \sqrt{14} + \frac{4}{5}$

$m_{1} = + \frac{3}{5} \sqrt{14} + \frac{4}{5} \approx 3,04$

$m_{2} = - \frac{3}{5} \sqrt{14} + \frac{4}{5} \approx - 1,44$

$\Rightarrow$ Da die Tangente negative Steigung haben soll, ist sie gegeben durch die Gleichung

y = m_{2} \cdot x + t = - 1,44 \cdot x + 3

Zusatz: Darstellung des Graphen und der gesuchten Tangente im Koordinatensystem

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