Aufgaben zu der Tangente - lernen mit Serlo!

An die Funktion $f(x)=-0{,}2\cdot(x-2)^2-2{,}5$ soll vom Punkt $P(0\mid3)$ aus eine Tangente mit negativer Steigung gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden

Stelle die Tangentengleichung auf. Sie hat die allgemeine Form:

$y = m x + t$

Der Punkt $P(0\mid3)$ liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Geradengleichung ein.

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle m\cdot0+t$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle t$

Wir errechnen die Schnittpunkte der Geraden mit dem Graphen der Funktion $f :$

$\displaystyle mx+t$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$
	↓	Setze $t = 3$ und $f(x)=-0{,}2\cdot(x-2)^2-2{,}5$ ein.
$\displaystyle mx+3$	$=$	$\displaystyle -0{,}2\cdot(x-2)^2-2{,}5$
	↓	2. binomische Formel anwenden.
$\displaystyle mx+t$	$=$	$\displaystyle -0{,}2\cdot\left(x^2-4x+4\right)-2{,}5$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle mx+3$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-0{,}8-2{,}5$
$\displaystyle mx+3$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-3{,}3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle mx$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-6{,}3$	$\displaystyle -mx$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-6{,}3-mx$
	↓	Umsortieren und einklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+\left(0{,}8-m\right)x-6{,}3$	$\displaystyle \cdot\left(-5\right)$
	↓	$\cdot\left(-5\right)$ ist das Gleiche wie $: (- 0,2)$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-\left(4-5m\right)x+31{,}5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{(4-5m)\pm\sqrt{\left(-(4-5m)\right)^2-4\cdot1\cdot31{,}5}}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{(4-5m)\pm\sqrt{(4-5m)^2-126}}{2}$

Für Tangente muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Graphen der Funktion $f$ besitzen. Daher darf es nur eine Lösung der Mitternachtsformel geben.

Um nur eine Lösung für die Gleichung

\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{(4-5m)\pm\sqrt{(4-5m)^2-126}}{2}

zu erhalten muss die Diskriminante $D = (4 - 5 m)^{2} - 126$ gleich 0 sein.

$\displaystyle D=\left(4-5m\right)^2-126$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +126$
$\displaystyle \left(4-5m\right)^2$	$=$	$\displaystyle 126$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle 4-5m$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{126}$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -5m$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{126}-4$	$\displaystyle :\left(-5\right)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \mp\frac{\sqrt{126}}{5}+\frac{4}{5}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \mp\frac{3\sqrt{14}}{5}+\frac{4}{5}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \mp\frac{3}{5}\sqrt{14}+\frac{4}{5}$

$m_1=+\frac35\sqrt{14}+\frac45\approx3{,}04$

$m_2=-\frac{3}{5}\sqrt{14}+\frac{4}{5}\approx-1{,}44$

$\Rightarrow$ Da die Tangente negative Steigung haben soll, ist sie gegeben durch die Gleichung

\displaystyle y=m_2\cdot x+t=-1{,}44\cdot x+3

Zusatz: Darstellung des Graphen und der gesuchten Tangente im Koordinatensystem

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