An die Funktion f(x)=−0,2⋅(x−2)2−2,5 soll vom Punkt P(0∣3) aus eine Tangente mit negativer Steigung gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Stelle die Tangentengleichung auf. Sie hat die allgemeine Form:
y=mx+t
Der Punkt P(0∣3) liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Geradengleichung ein.
3
=
m⋅0+t
3
=
t
Wir errechnen die Schnittpunkte der Geraden mit dem Graphen der Funktion f:
Für Tangente muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Graphen der Funktion f besitzen. Daher darf es nur eine Lösung der Mitternachtsformel geben.
Um nur eine Lösung für die Gleichung
x1,2=2(4−5m)±(4−5m)2−126
zu erhalten muss die Diskriminante D=(4−5m)2−126 gleich 0 sein.
D=(4−5m)2−126
=
0
+126
(4−5m)2
=
126
4−5m
=
±126
−4
−5m
=
±126−4
:(−5)
m
=
∓5126+54
m
=
∓5314+54
m
=
∓5314+54
m1=+5314+54≈3,04
m2=−5314+54≈−1,44
⇒ Da die Tangente negative Steigung haben soll, ist sie gegeben durch die Gleichung
y=m2⋅x+t=−1,44⋅x+3
Zusatz: Darstellung des Graphen und der gesuchten Tangente im Koordinatensystem
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