Gemischte Aufgaben zu Volumenberechnung

Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A.

Berechne das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper

Durch die Rotation entsteht ein Kegel auf einem großen Zylinder, aus dem ein Kleinerer ausgeschnitten wurde.

${\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}-\;{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}+\;{\mathrm V}_\mathrm{Kegel}$

Setze die bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Kegels ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{Kegel}\;}=\frac13\cdot\;({\mathrm r}_\mathrm{Kegel})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Kegel}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\;\cdot\;(2\mathrm a)^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\cdot4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac43\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$

Setze die bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}})^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(2\mathrm a)^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^3\;\cdot\mathrm\pi\end{array}$

Führe alle Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung zusammen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;-\;\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;+\;\frac43\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\frac13\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$

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