Gemischte Aufgaben zu Volumenberechnung

Vorüberlegungen

Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.

Volumen eines Kegels

Du benötigst den Radius $r$ und die Höhe $h$ des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser:

Berechne damit nun das Volumen.

Umrechnen

Für das Umrechnen von Litern gilt $1\,\text{l} = 1 \,\text{dm}^3$ und $1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3$

Beides zusammen ergibt

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{lcl} 1\,\text{l} &=& 1000\,\text{cm}^3\\ \dfrac{1}{1000} \,\text{l} &=& 1 \,\text{cm}^3 \end{array}$

Rechne damit das Volumen der Eistüte um.

In die Eistüte passen also etwa $0{,}15$ Liter Eis.

Vorüberlegungen

Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst

• das Verhältnis von $r$ und $h$ so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du $r$ und $h$ mit dem gleichen Faktor $a$ multiplizieren, also $r$ durch $a\cdot r$ und $h$ durch $a \cdot h$ ersetzen.

• das Verhältnis von $r$ und $h$ verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius $3r$ und die halbe Höhe $\dfrac{h}{2}$ nehmen.

Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.

Aufstellen einer Gleichung

Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du $r$ und $h$ kennst.

Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl $a$, die du noch nicht kennst.

Du musst $a$ so wählen, dass das Volumen genau $1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3$ ist, was zu folgender Gleichung führt:

Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}\dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left|\quad \text{Vereinfache die linke Seite}\right. \\\dfrac{\pi}{3} r^2h \cdot a^3 & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left| :(\dfrac{\pi}{3} rh) \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000 \, \text{cm}^3}{\pi r^2h} & \left| \quad\ \text{Werte aus Teil 1 einsetzen} \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000\, \text{cm}^3}{\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot 16\, \mathrm{cm}} & \\a^3 & \approx & 6{,}63 & \left|\sqrt[3]{}\right. \\a & \approx & 1{,}88&\end{array}$

Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von $0{,}15$ Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf $1$ Liter zu erhöhen!

Volumen

Grundfläche: Quadrat

Die Grundfläche eines Würfels ist ein Quadrat mit Seitenlänge $a$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\mathrm G\cdot\mathrm h\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;={\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}\cdot\mathrm h\end{array}$

Allgemeine Volumenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem man den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks für die Grundfläche einsetzt.

Allgemeine Flächenformel des Dreiecks.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot\mathrm{Basis}\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}\end{array}$

Die Höhe des Dreiecks ${\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}$ kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

$(\mathrm{h}_\mathrm{Dreieck})^2=\left(3\mathrm{cm}\right)^2-\left(1\mathrm{cm}\right)^2\\\Leftrightarrow{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}=\sqrt{8\mathrm{cm}^2}=\sqrt8\mathrm{cm}$

Einsetzen der bekannten Seitenlängen in die Gleichung für ${\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot2\mathrm c\mathrm m\cdot\sqrt8\mathrm{cm}\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\sqrt8\mathrm{cm}^2\end{array}$

Einsetzen in die Volumenformel des Prismas

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\sqrt8\mathrm{cm}^2\cdot5\mathrm{cm}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=5\sqrt8\mathrm{cm}^3\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx14{,}14\mathrm{cm}^3\end{array}$

Oberflächeninhalt

$\mathrm{O}_{\mathrm{\Pr isma}}=2\cdot \mathrm{G}+\mathrm{M}$

Allgemeine Oberflächenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem die man die Flächeninhalte der rechteckigen Seitenflächen addiert und für die Mantelfläche $M$ einsetzt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm O}_\mathrm{Prisma}=2\cdot{\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}+{\mathrm S}_1+{\mathrm S}_2+{\mathrm S}_3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\cdot\sqrt8\mathrm{cm}^2+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(2\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sqrt8\mathrm{cm}^2+40\mathrm{cm}^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx45{,}66\;\mathrm{cm}^2\end{array}$

Das Volumen eine Zylinders berechen wir mit

$V=r^2\cdot \pi\cdot h$

Mit $r=3$ und $h=5$ ist

$V=3^2\cdot \pi\cdot 5 \;cm^3=45 \pi cm^3\approx 141{,}37\; cm^3$

Bei jeder Pyramide gilt $V=\frac{1}{3}G\cdot h$.

Da die Grundfläche ein Quadrat mit Kantenlänge $24\; cm$ ist, ist

$G=24^2\ cm^2$ und

$V=\dfrac{1}{3} 24^2\cdot 5 \; cm^3=960\; cm^3$

Für das Kegelvolumen gilt

$V=\dfrac{1}{3}r^2 \cdot \pi \cdot h$

Mit $r=3\; cm$ und $h=5\; cm$ ist

$V=\dfrac{1}{3}\cdot 9\cdot\pi\cdot 5\; cm^3=15\pi\; cm^3 \approx 42{,}12cm^3$