Aufgaben zu linearen Funktionen

Prüfe, ob die Geraden $g, h, i$ durch einen Punkt verlaufen.

$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\mathrm x+1;\;\;\;\;\;\mathrm h:\;2\mathrm y+\mathrm x+4=0;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;3\mathrm y-5\mathrm x=7$

Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y = m x + t$ .

Gerade g:

$g (x) = x + 1$

$\Leftrightarrow y=x+1$

Gerade h:

$2 y + x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2y=-x-4$

$\Leftrightarrow y=-\frac12x-2$

Gerade i:

$3 y - 5 x = 7$

$\Leftrightarrow 3y=5 x+7$

$\Leftrightarrow y=\frac53 x+\frac73$

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-2$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x-1$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle x+\frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -2-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{3}{2}x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\frac{3}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y = - 2 + 1 = - 1$

Der Schnittpunkt ist $S_{gh}(-2\,|\,-1).$

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}x+\frac{7}{3}$	$\displaystyle -\frac{5}{3}x-1$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle x-\frac{5}{3}x$	$=$	$\displaystyle \frac{7}{3}-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{2}{3}x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$	$\displaystyle :(-\frac{2}{3})$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y = - 2 + 1 = - 1$

Der Schnittpunkt ist $S_{gi}(-2\,|\,-1).$

Da sich $g$ mit $h$ und mit $i$ im selben Punkt schneidet, schneiden sich auch $h$ und $i$ in diesem Punkt. Die Geraden laufen also alle durch den Punkt $(- 2 ∣ - 1)$ .

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$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac16\mathrm x+\frac32;\;\;\;\;\;\mathrm h\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x+2;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;2\mathrm x-\mathrm y=3$

Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y = m x + t$ .

Gerade g:

$g(x)=\frac16x+\frac32$

$\Leftrightarrow y=\frac16x+\frac32$

Gerade h:

$h(x)=-\frac23x+2$

$\Leftrightarrow y=-\frac23x+2$

Gerade i:

$2 x - y = 3$

$\Leftrightarrow y=2 x-3$

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle \frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x+2$	$\displaystyle +\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle \frac{1}{6}x+\frac{2}{3}x$	$=$	$\displaystyle 2-\frac{3}{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{5}{6}x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle :\frac56$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac35$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y=\frac16\cdot\frac35+\frac32$

$\;\;\,=\frac{1}{10}+\frac32=\frac{16}{10}$

$\;\;\,=\frac{8}{5}$

Der Schnittpunkt ist $S_{gh}\left(\frac35\,|\,\frac85\right).$

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle \frac16x+\frac32$	$=$	$\displaystyle 2x-3$	$\displaystyle -2x-\frac32$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle \frac16x-2x$	$=$	$\displaystyle -3-\frac32$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{11}{6}x$	$=$	$\displaystyle -\frac92$	$\displaystyle :(-\frac{11}{6})$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac92\cdot\frac{6}{11}=\frac{27}{11}$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y=\frac16\cdot\frac{27}{11}+\frac32$

$\;\;\,=\frac{9}{22}+\frac32=\frac{42}{22}$

$\;\;\,=\frac{21}{11}$

Der Schnittpunkt ist $S_{gi}\left(\frac{27}{11}\,|\,\frac{21}{11}\right).$

Damit schneidet die Gerade $g$ die Gerade $h$ in einem anderen Punkt als die Gerade $i$ . Also laufen die Geraden nicht durch einen Punkt.

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