Aufgaben zu linearen Funktionen

Prüfe, ob die Geraden $g, h, i$ durch einen Punkt verlaufen.

$g (x) = x + 1; h : 2 y + x + 4 = 0; i : 3 y - 5 x = 7$
- Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
- Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden
Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y = m x + t$ .
Gerade g:
$g (x) = x + 1$
$\Leftrightarrow y = x + 1$
Gerade h:
$2 y + x + 4 = 0$
$\Leftrightarrow 2 y = - x - 4$
$\Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} x - 2$
Gerade i:
$3 y - 5 x = 7$
$\Leftrightarrow 3 y = 5 x + 7$
$\Leftrightarrow y = \frac{5}{3} x + \frac{7}{3}$
Bestimme den Schnittpunkt von g und h
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$x + 1$ $=$ $- \frac{1}{2} x - 2$ $+ \frac{1}{2} x - 1$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$x + \frac{1}{2} x$ $=$ $- 2 - 1$
↓
Fasse zusammen.
$\frac{3}{2} x$ $=$ $- 3$ $: \frac{3}{2}$
$x$ $=$ $- 2$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = - 2 + 1 = - 1$
Der Schnittpunkt ist $S_{g h} (- 2 | - 1) .$
Bestimme den Schnittpunkt von g und i
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$x + 1$ $=$ $\frac{5}{3} x + \frac{7}{3}$ $- \frac{5}{3} x - 1$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$x - \frac{5}{3} x$ $=$ $\frac{7}{3} - 1$
↓
Fasse zusammen.
$- \frac{2}{3} x$ $=$ $\frac{4}{3}$ $: (- \frac{2}{3})$
$x$ $=$ $- 2$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = - 2 + 1 = - 1$
Der Schnittpunkt ist $S_{g i} (- 2 | - 1) .$
Da sich $g$ mit $h$ und mit $i$ im selben Punkt schneidet, schneiden sich auch $h$ und $i$ in diesem Punkt. Die Geraden laufen also alle durch den Punkt $(- 2 | - 1)$ .
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$g (x) = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}; h (x) = - \frac{2}{3} x + 2; i : 2 x - y = 3$
- Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
- Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden
Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y = m x + t$ .
Gerade g:
$g (x) = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$
Gerade h:
$h (x) = - \frac{2}{3} x + 2$
$\Leftrightarrow y = - \frac{2}{3} x + 2$
Gerade i:
$2 x - y = 3$
$\Leftrightarrow y = 2 x - 3$
Bestimme den Schnittpunkt von g und h
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$\frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$ $=$ $- \frac{2}{3} x + 2$ $+ \frac{2}{3} x - \frac{3}{2}$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\frac{1}{6} x + \frac{2}{3} x$ $=$ $2 - \frac{3}{2}$
↓
Fasse zusammen.
$\frac{5}{6} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $: \frac{5}{6}$
$x$ $=$ $\frac{3}{5}$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{2}$
$= \frac{1}{10} + \frac{3}{2} = \frac{16}{10}$
$= \frac{8}{5}$
Der Schnittpunkt ist $S_{g h} (\frac{3}{5} | \frac{8}{5}) .$
Bestimme den Schnittpunkt von g und i
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
$\frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$ $=$ $2 x - 3$ $- 2 x - \frac{3}{2}$
↓
Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\frac{1}{6} x - 2 x$ $=$ $- 3 - \frac{3}{2}$
↓
Fasse zusammen.
$- \frac{11}{6} x$ $=$ $- \frac{9}{2}$ $: (- \frac{11}{6})$
$x$ $=$ $\frac{9}{2} \cdot \frac{6}{11} = \frac{27}{11}$
Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
$y = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{11} + \frac{3}{2}$
$= \frac{9}{22} + \frac{3}{2} = \frac{42}{22}$
$= \frac{21}{11}$
Der Schnittpunkt ist $S_{g i} (\frac{27}{11} | \frac{21}{11}) .$
Damit schneidet die Gerade $g$ die Gerade $h$ in einem anderen Punkt als die Gerade $i$ . Also laufen die Geraden nicht durch einen Punkt.
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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das?

$x + 1$	$=$	$- \frac{1}{2} x - 2$	$+ \frac{1}{2} x - 1$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$x + \frac{1}{2} x$	$=$	$- 2 - 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{3}{2} x$	$=$	$- 3$	$: \frac{3}{2}$
$x$	$=$	$- 2$

$x + 1$	$=$	$\frac{5}{3} x + \frac{7}{3}$	$- \frac{5}{3} x - 1$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$x - \frac{5}{3} x$	$=$	$\frac{7}{3} - 1$
	↓	Fasse zusammen.
$- \frac{2}{3} x$	$=$	$\frac{4}{3}$	$: (- \frac{2}{3})$
$x$	$=$	$- 2$

$\frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$	$=$	$- \frac{2}{3} x + 2$	$+ \frac{2}{3} x - \frac{3}{2}$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\frac{1}{6} x + \frac{2}{3} x$	$=$	$2 - \frac{3}{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{5}{6} x$	$=$	$\frac{1}{2}$	$: \frac{5}{6}$
$x$	$=$	$\frac{3}{5}$

$\frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$	$=$	$2 x - 3$	$- 2 x - \frac{3}{2}$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\frac{1}{6} x - 2 x$	$=$	$- 3 - \frac{3}{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$- \frac{11}{6} x$	$=$	$- \frac{9}{2}$	$: (- \frac{11}{6})$
$x$	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \frac{6}{11} = \frac{27}{11}$

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