Aufgaben zur Bestimmung von Ortskurven

Bestimme die Ortskurve der Minima der Funktionenschar $f_k(x)=x³-\;\frac1kx²-\frac1{k²}\;x^{}$ mit Parameter $k > 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen

$\displaystyle f_k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-\dfrac{1}{k}x^2-\dfrac{1}{k^2}x$	$\displaystyle \text {mit}\ k>0$
	↓	Bilde die 1. Ableitung von $f_{k} (x)$ .
$\displaystyle f_k´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^2-\dfrac{2}{k}x-\dfrac{1}{k^2}$
	↓	Setze die 1. Ableitung gleich 0.
$\displaystyle f_k´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel nach $x$ auf.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{2}{k}\pm\sqrt{\dfrac{4}{k^2}+\dfrac{12}{k^2}}}{6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm\sqrt{16}}{6k}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm4}{6k}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm2}{3k}$
	↓	Dabei ergibt sich für $x_{1}$ :
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{k}$
	↓	Und für $x_{2}$ :
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{3k}$

Bilde die zweite Ableitung der Funktionenschar.

$\displaystyle f_k´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 6x-\dfrac{2}{k}$
	↓	Setze $x_{1}$ und $x_{2}$ in die 2. Ableitung ein um die Art der Extrema zu bestimmen.
$\displaystyle f_k´´\left(x_1\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{k}-\dfrac{2}{k}$
$\displaystyle f_k´´\left(x_1\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{k}$
$\displaystyle f_k´´\left(x_1\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Damit sind bei $x_{1}$ Minima, da ${f_k}''(x_1)\gt 0$
$\displaystyle f_k´´\left(x_2\right)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2}{k}-\dfrac{2}{k}$
$\displaystyle f_k´´\left(x_2\right)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{k}$
$\displaystyle f_k´´\left(x_2\right)$	$<$	$\displaystyle 0$
	↓	und bei $x_{2}$ Maxima, da ${f_k}''(x_2) \lt 0$ .

In der Aufgabenstellung wird nur nach Ortskurve der Minima gefragt. Also wird im Weiteren nur noch $x_{1}$ betrachtet.

Setze $x_1=\dfrac1k$ in $f_{k}$ ein um den $y$ -Wert der Minima zu erhalten.

$\displaystyle f_k\left(x_1\right)$	$=$	$\displaystyle x_1^3-\dfrac{1}{k}x_1^2-\dfrac{1}{k^2}x_1$
$\displaystyle f_k\left(\frac{1}{k}\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{k^3}-\dfrac{1}{k^3}-\dfrac{1}{k^3}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{k^3}$

Damit sind die Punkte mit $x$ -Wert: $\dfrac1k$ und $y$ -Wert: $-\dfrac1{k^3}$ die Minima der Funktionenschar. Diese Punkte nennen wir $P_{k}$ .

Alle Punkte $P_{k}$ liegen auf der Ortskurve.

$P_k\left(\dfrac1k\left|-\dfrac1{k^3}\right)\right.$

Erstelle eine Gleichung für $x$ und eine Gleichung für $y$ .

$x=\dfrac1k \Rightarrow k=\dfrac1x$

Gleichung 1 stellst du nach $k$ um.

$y=-\dfrac1{k^3}$

Gleichung 2.

Setze Gleichung 1 in Gleichung 2 ein.

Funktionsgleichung der Ortskurve:

$y = - x^{3}$

$g (x) = - x^{3}$

Bild zeigt dir die Ortskurve

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