Aufgaben zur Bestimmung von Ortskurven

Bestimme die Ortskurve der Minima der Funktionenschar $f_{k} (x) = x^{3} - \frac{1}{k} x^{2} - \frac{1}{k^{2}} x^{}$ mit Parameter $k > 0$ .

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$f_{k} (x)$	$=$	$x^{3} - \frac{1}{k} x^{2} - \frac{1}{k^{2}} x$	$mit k > 0$
	↓	Bilde die 1. Ableitung von $f_{k} (x)$ .
$f_{k} ´ (x)$	$=$	$3 x^{2} - \frac{2}{k} x - \frac{1}{k^{2}}$
	↓	Setze die 1. Ableitung gleich 0.
$f_{k} ´ (x)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel nach $x$ auf.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{\frac{2}{k} \pm \sqrt{\frac{4}{k^{2}} + \frac{12}{k^{2}}}}{6}$
	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{16}}{6 k}$
	$=$	$\frac{2 \pm 4}{6 k}$
	$=$	$\frac{1 \pm 2}{3 k}$
	↓	Dabei ergibt sich für $x_{1}$ :
$x_{1}$	$=$	$\frac{1}{k}$
	↓	Und für $x_{2}$ :
$x_{2}$	$=$	$- \frac{1}{3 k}$

$f_{k} ´ ´ (x)$	$=$	$6 x - \frac{2}{k}$
	↓	Setze $x_{1}$ und $x_{2}$ in die 2. Ableitung ein um die Art der Extrema zu bestimmen.
$f_{k} ´ ´ (x_{1})$	$=$	$\frac{6}{k} - \frac{2}{k}$
$f_{k} ´ ´ (x_{1})$	$=$	$\frac{4}{k}$
$f_{k} ´ ´ (x_{1})$	$>$	$0$
	↓	Damit sind bei $x_{1}$ Minima, da ${f_{k}}^{''} (x_{1}) > 0$
$f_{k} ´ ´ (x_{2})$	$=$	$- \frac{2}{k} - \frac{2}{k}$
$f_{k} ´ ´ (x_{2})$	$=$	$- \frac{4}{k}$
$f_{k} ´ ´ (x_{2})$	$<$	$0$
	↓	und bei $x_{2}$ Maxima, da ${f_{k}}^{''} (x_{2}) < 0$ .