Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

Berechne die Tangente an die Funktion $h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ durch den Punkt $B(-3\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln

$h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)$

Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du $x = - 3$ in h einsetzt:

$y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5$

Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:

$D=(4-m)^2-4\cdot2\cdot(-1-t)=m^2-8m+24+8t=0$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -3m + t$	$\displaystyle + 3m$
$\displaystyle 5 + 3m$	$=$	$\displaystyle t$

Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:

$\displaystyle m^2-8m+24+8(5+3m)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die linke Seite aus
$\displaystyle m^2+16m+64$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die binomische Formel
$\displaystyle (m+8)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\Rightarrow m=-8$

Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -3 \cdot (-8) + t$	$\displaystyle -24$
$\displaystyle -19$	$=$	$\displaystyle t$

Stelle die Tangentengleichung auf:

$t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19$

$h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$h^{'} (x) = 4 x + 4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$h'(-3)=4\cdot(-3)+4=-8=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$5=-3\cdot(-8)+t\Rightarrow t=-19$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19$

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