Berechne die Tangente an die Funktion h(x)=2x2+4xâ1  durch den Punkt B(â3âŁy) .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln
Ohne Ableitung
h(x)=2x2+4xâ1,B(â3âŁy)
Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du x = â3 in h einsetzt:
y=2(â3)2+4â (â3)â1=5
Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:
2x2+4xâ1 | = | mx+t | âmxât |
â | Bringe alles auf eine Seite | ||
2x2+(4âm)xâ1ât | = | 0 |
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:
D=(4âm)2â4â 2â (â1ât)=m2â8m+24+8t=0
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
5 | = | â3m+t | +3m |
5+3m | = | t |
Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:
m2â8m+24+8(5+3m) | = | 0 | |
â | Multipliziere die linke Seite aus | ||
m2+16m+64 | = | 0 | |
â | Verwende die binomische Formel | ||
(m+8)2 | = | 0 |
âm=â8
Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
5 | = | â3â (â8)+t | â24 |
â19 | = | t |
Stelle die Tangentengleichung auf:
tBâ(x)=â8xâ19
Mit Ableitung
hâČ(x)=4x+4
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
hâČ(â3)=4â (â3)+4=â8=m
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
y=2(â3)2+4â (â3)â1=5
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
5=â3â (â8)+tât=â19
Stelle die Tangentengleichung auf
tBâ(x)=â8xâ19