Berechne die Tangente an die Funktion h(x)=2x2+4x−1 durch den Punkt B(−3∣y) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln
Ohne Ableitung
h(x)=2x2+4x−1,B(−3∣y)
Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du x = −3 in h einsetzt:
y=2(−3)2+4⋅(−3)−1=5
Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:
| 2x2+4x−1 | = | mx+t | −mx−t |
| ↓ | Bringe alles auf eine Seite | ||
| 2x2+(4−m)x−1−t | = | 0 | |
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:
D=(4−m)2−4⋅2⋅(−1−t)=m2−8m+24+8t=0
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
| 5 | = | −3m+t | +3m |
| 5+3m | = | t |
Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:
| m2−8m+24+8(5+3m) | = | 0 | |
| ↓ | Multipliziere die linke Seite aus | ||
| m2+16m+64 | = | 0 | |
| ↓ | Verwende die binomische Formel | ||
| (m+8)2 | = | 0 | |
⇒m=−8
Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
| 5 | = | −3⋅(−8)+t | −24 |
| −19 | = | t |
Stelle die Tangentengleichung auf:
tB(x)=−8x−19
Mit Ableitung
h′(x)=4x+4
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
h′(−3)=4⋅(−3)+4=−8=m
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
y=2(−3)2+4⋅(−3)−1=5
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
5=−3⋅(−8)+t⇒t=−19
Stelle die Tangentengleichung auf
tB(x)=−8x−19
