Eine Funktion  $ff$ heißt genau dann differenzierbar an der Stelle $x_{0}x\_0$ , wenn dort linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten existieren und übereinstimmen, d.h. wenn gilt:

\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}     

Sind die Ableitungen links und rechts von $x_{0}x\_0$  bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit auch über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine Funktion f ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt:

\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0-0}f`\left(x\right)=\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0+0}f`\left(x\right)

/// Wann "existiert" ein Grenzwert?

Ein Grenzwert existiert genau dann, wenn er sich eindeutig bestimmen lässt und zugleich endlich ist. In der folgenden Tabelle sind Beispiele existierender Grenzwerte sowie Gegenbeispiele zusammengefasst:

**** **Grenzwert** **Folgerung**

$\frac{1}{x}=0\backslash underset\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\{lim\}\backslash frac1x=0$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Grenzwert existiert

$\frac{2x^2+x+1}{x^2-1}=2\backslash underset\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\{lim\}\backslash frac\{2x^2+x+1\}\{x^2-1\}=2$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Grenzwert existiert

$x^2=\mathrm{\infty }\backslash underset\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\{lim\}x^2=\backslash infty$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Grenzwert existiert nicht

$\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }\backslash underset\{x\backslash rightarrow0\}\{lim\}\backslash frac1x=\backslash infty$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Grenzwert existiert nicht

///

Eine differenzierbare Funktion hat die Eigenschaft, dass an jedem Punkt auf dem zugehörigen Graphen genau eine [Tangente](/1647) angelegt werden kann. Der Graph einer differenzierbaren Funktion besitzt also keine Ecken (an Ecken wäre die anzulegende Tangente nicht eindeutig, weil links- und rechtseitiger Grenzwert nicht identisch wären).   differenzierbar nicht differenzierbar

Falls eine Funktion an allen Stellen ihrer Definitionsmenge differenzierbar ist, wird sie allgemein als differenzierbar bezeichnet. Ist ihre Ableitung ebenfalls differenzierbar, so heißt die Funktion zweimal differenzierbar. Analog lassen sich die Bezeichnungen dreimal / viermal / … differenzierbar definieren.

Eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$  überall stetig ist, heißt stetig differenzierbar.

Differenzierbarkeit nachweisen

Wie oben erklärt ist eine Funktion differenzierbar, wenn an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs der Differentialquotient existiert.

/// Vorgehen am Beispiel (differenzierbare Funktion)  

Untersuche die Funktion $f\left(x\right)=x^2+4x-1f\backslash left(x\backslash right)=x^2+4x-1$ auf Differenzierbarkeit.

1.

Differentialquotienten am besten mit der h-Methode aufstellen

${\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{f\backslash left(x\_0+h\backslash right)-f\backslash left(x\_0\backslash right)\}h$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{[{(x_0+h)}^2+4\cdot (x_0+h)-1]-[x_0^2+4x_0-1]}{h}=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{\backslash left[\backslash left(x\_0+h\backslash right)^2+4\backslash cdot\backslash left(x\_0+h\backslash right)-1\backslash right]-\backslash left[x\_0^2+4x\_0-1\backslash right]\}h$

2.

Zähler des Bruchs vereinfachen

$={\lim }_{h\to 0}\frac{[x_0^2+2x_{0}h+h^2+4x_0+4h-1]-x_0^2-4x_0+1}{h}=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{\backslash left[x\_0^2+2x\_0h+h^2+4x\_0+4h-1\backslash right]-x\_0^2-4x\_0+1\}h$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{x_0^2+2x_{0}h+h^2+4x_0+4h-1-x_0^2-4x_0+1}{h}=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{x\_0^2+2x\_0h+h^2+4x\_0+4h-1-x\_0^2-4x\_0+1\}h$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{2x_{0}h+h^2+4h}{h}=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{2x\_0h+h^2+4h\}h$

3.

im Zähler h ausklammern

$={\lim }_{h\to 0}\frac{h\cdot (2x_0+h+4)}{h}=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{h\backslash cdot\backslash left(2x\_0+h+4\backslash right)\}h$

4.

h kürzen

$={\lim }_{h\to 0}(2x_0+h+4)=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash textstyle\backslash left(2x\_0+h+4\backslash right)$

5.

Nun kann man den Grenzwert bilden, also  $hh$  gegen  $00$  gehen lassen.

$Syntaxerrorfromline1column293toline1column298.Unexpecte{d}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mathrm{.}Syntax\; error\; from\; line\; 1\; column\; 293\; to\; line\; 1\; column\; 298.\; Unexpected\; \text{'}\text{'}.$

6.

Da dieser Grenzwert für alle Werte  $x_{0}x\_0$  aus dem Definitionsbereich existiert, ist die Funktion $f\left(x\right)=x^2+4x-1f\backslash left(x\backslash right)=x^2+4x-1$  differenzierbar.

Man sieht, dass das Ergebnis übereinstimmt mit der Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=x^2+4x-1f\backslash left(x\backslash right)=x^2+4x-1$ :

$f\mathrm{‘}\left(x\right)=2x+4f`\backslash left(x\backslash right)=2x+4$

///

/// Vorgehen am Beispiel (nicht differenzierbare Funktion)

Untersuche die Funktion %%f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{lc}x\;&für\;x>0\\0\;\;\;\;&für\;x=0\\-x\;&für\;x

Diese Funktion ist offenbar für alle%%x\in\mathbb{R}/\left{0\right}$differenzierbar\mathrm{.}ManmussalsonurdiekritischeStellebeidifferenzierbar.\; Man\; muss\; also\; nur\; die\; kritische\; Stelle\; bei$x=0%% untersuchen.

1. Erstelle den Differentialquotient an der Stelle  $x_0=0x\_0=0$ . ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{f\backslash left(x\_0+h\backslash right)-f\backslash left(x\_0\backslash right)\}h$ $\begin{array}{c}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{f\left(h\right)}{h}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{f\backslash left(0+h\backslash right)-f\backslash left(0\backslash right)\}h=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0\}\backslash frac\{f\backslash left(h\backslash right)\}h\backslash end\{array\}$

2. Zunächst muss man unterscheiden, von welcher Seite man sich der  $00$  annähert, da man für positive und negative Werte von x unterschiedliche Funktionsterme verwenden muss. Man betrachtet also zwei Grenzwerte. Dabei nähert man sich einmal von links (in Zeichen:  ${\lim }_{h\to 0-0}\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0-0\}$ ) und einmal von rechts (in Zeichen:  ${\lim }_{h\to 0+0}\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0+0\}$ ) an den Wert  $x_0=0x\_0=0$  an

2.1 Annäherung von rechts: ${\lim }_{h\to 0+0}\frac{f\left(h\right)}{h}={\lim }_{h\to 0+0}\frac{h}{h}={\lim }_{h\to 0+0}1=1\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0+0\}\backslash frac\{f\backslash left(h\backslash right)\}h=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0+0\}\backslash frac\; hh=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0+0\}1=1$

2.2 Annäherung von links: ${\lim }_{h\to 0-0}\frac{f\left(h\right)}{h}={\lim }_{h\to 0-0}\frac{-h}{h}={\lim }_{h\to 0+0}-1=-1\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0-0\}\backslash frac\{f\backslash left(h\backslash right)\}h=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0-0\}\backslash frac\{-h\}h=\backslash lim\_\{h\backslash rightarrow0+0\}-1=-1$

Da die beiden Grenzwerte von links und rechts unterschiedlich sind, existiert der Grenzwert an der Stelle $x_0=0x\_0=0$ nicht. Deshalb ist die Funktion %%f\left(x\right)=\left|x\right|=\left{\begin{array}{lc}x\;&für\;x>0\0\;\;\;\;&für\;x=0\-x\;&für\;x

///

Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit