Eine Funktion  $f$ heißt genau dann differenzierbar an der Stelle $x_0$ , wenn dort linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert/1599 des Differenzenquotienten/1669 existieren und übereinstimmen, d.h. wenn gilt:

\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}     

Sind die Ableitungen/1795 links und rechts von $x_0$  bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit auch über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine Funktion f ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt:

\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0-0}f`\left(x\right)=\mbox{\large$lim$}_{x\rightarrow x_0+0}f`\left(x\right)

/// Wann "existiert" ein Grenzwert?

Ein Grenzwert existiert genau dann, wenn er sich eindeutig bestimmen lässt und zugleich endlich ist. In der folgenden Tabelle sind Beispiele existierender Grenzwerte sowie Gegenbeispiele zusammengefasst:

**** **Grenzwert** **Folgerung**

$\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\frac1x=0$ $\Rightarrow$ Grenzwert existiert

$\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\frac{2x^2+x+1}{x^2-1}=2$ $\Rightarrow$ Grenzwert existiert

$\underset{x\rightarrow\infty}{lim}x^2=\infty$ $\Rightarrow$ Grenzwert existiert nicht

$\underset{x\rightarrow0}{lim}\frac1x=\infty$ $\Rightarrow$ Grenzwert existiert nicht

///

Eine differenzierbare Funktion hat die Eigenschaft, dass an jedem Punkt auf dem zugehörigen Graphen genau eine [Tangente](/1647) angelegt werden kann. Der Graph einer differenzierbaren Funktion besitzt also keine Ecken (an Ecken wäre die anzulegende Tangente nicht eindeutig, weil links- und rechtseitiger Grenzwert nicht identisch wären).   differenzierbar nicht differenzierbar

Falls eine Funktion an allen Stellen ihrer Definitionsmenge/1575 differenzierbar ist, wird sie allgemein als differenzierbar bezeichnet. Ist ihre Ableitung ebenfalls differenzierbar, so heißt die Funktion zweimal differenzierbar. Analog lassen sich die Bezeichnungen dreimal / viermal / … differenzierbar definieren.

Eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion/1795 $f'$  überall stetig/1597 ist, heißt stetig differenzierbar.

Differenzierbarkeit nachweisen

Wie oben erklärt ist eine Funktion differenzierbar, wenn an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs der Differentialquotient existiert.

/// Vorgehen am Beispiel (differenzierbare Funktion)  

Untersuche die Funktion $f\left(x\right)=x^2+4x-1$ auf Differenzierbarkeit.

1.

Differentialquotienten am besten mit der h-Methode/1725 aufstellen

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h$

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left[\left(x_0+h\right)^2+4\cdot\left(x_0+h\right)-1\right]-\left[x_0^2+4x_0-1\right]}h$

2.

Zähler des Bruchs vereinfachen

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left[x_0^2+2x_0h+h^2+4x_0+4h-1\right]-x_0^2-4x_0+1}h$

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x_0^2+2x_0h+h^2+4x_0+4h-1-x_0^2-4x_0+1}h$

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2x_0h+h^2+4h}h$

3.

im Zähler h ausklammern

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h\cdot\left(2x_0+h+4\right)}h$

4.

h kürzen

$=\lim_{h\rightarrow0}\textstyle\left(2x_0+h+4\right)$

5.

Nun kann man den Grenzwert bilden, also  $h$  gegen  $0$  gehen lassen.

$Syntax error from line 1 column 293 to line 1 column 298. Unexpected ''.$

6.

Da dieser Grenzwert für alle Werte  $x_0$  aus dem Definitionsbereich existiert, ist die Funktion $f\left(x\right)=x^2+4x-1$  differenzierbar.

Man sieht, dass das Ergebnis übereinstimmt mit der Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=x^2+4x-1$ :

$f`\left(x\right)=2x+4$

///

/// Vorgehen am Beispiel (nicht differenzierbare Funktion)

Untersuche die Funktion %%f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{lc}x\;&für\;x>0\\0\;\;\;\;&für\;x=0\\-x\;&für\;x

Diese Funktion ist offenbar für alle%%x\in\mathbb{R}/\left{0\right}$differenzierbar. Man muss also nur die kritische Stelle bei$x=0%% untersuchen.

1. Erstelle den Differentialquotient an der Stelle  $x_0=0$ . $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}h=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h\right)}h\end{array}$

2. Zunächst muss man unterscheiden, von welcher Seite man sich der  $0$  annähert, da man für positive und negative Werte von x unterschiedliche Funktionsterme verwenden muss. Man betrachtet also zwei Grenzwerte. Dabei nähert man sich einmal von links (in Zeichen:  $\lim_{h\rightarrow0-0}$ ) und einmal von rechts (in Zeichen:  $\lim_{h\rightarrow0+0}$ ) an den Wert  $x_0=0$  an

2.1 Annäherung von rechts: $\lim_{h\rightarrow0+0}\frac{f\left(h\right)}h=\lim_{h\rightarrow0+0}\frac hh=\lim_{h\rightarrow0+0}1=1$

2.2 Annäherung von links: $\lim_{h\rightarrow0-0}\frac{f\left(h\right)}h=\lim_{h\rightarrow0-0}\frac{-h}h=\lim_{h\rightarrow0+0}-1=-1$

Da die beiden Grenzwerte von links und rechts unterschiedlich sind, existiert der Grenzwert an der Stelle $x_0=0$ nicht. Deshalb ist die Funktion %%f\left(x\right)=\left|x\right|=\left{\begin{array}{lc}x\;&für\;x>0\0\;\;\;\;&für\;x=0\-x\;&für\;x

///

Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit