Charakterisierung: Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.

Eine Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele $v_1,\dots,v_n \in V$ und $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K$ gilt:

$f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$

Beweisschritt 1$\left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right)\implies f$ ist eine lineare Abbildung.

Seien $v,v_1,v_2 \in V$ und $\lambda \in K$. Die beiden Terme $v_1+v_2$ und $\lambda \cdot v$ sind zwei Linearkombinationen in $V$. Wenn wir diese in die Formel $f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$ einsetzen, so erhalten wir

$\def\arraystretch{1.25}  \begin{array}{c l} f(v_1 + v_2) & = f(v_1) + f(v_2) \\[0.5em] f(\lambda \cdot v) & = \lambda \cdot f(w) \end{array}$

Damit erfüllt $f$ die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt 2

$f$ ist eine lineare Abbildung $\implies \left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right)$.

Sei $f$ eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über $n$:

Wir zeigen für $n\in\N$, dass $\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$

Induktionsanfang: Wir fangen die Induktion bei $n=1$ an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c l} & f \left( \lambda_1 \cdot_{{}_V} v_1 \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Homogenität von } f \right.} \\[0.3em] = & \lambda_1 \cdot_{{}_W} f \left( v_1 \right) \end{array}$

Induktionsvoraussetzung: $\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$

Induktionsbehauptung: $\forall v_1,\dots,v_n,v_{n+1} \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1} \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)$

Induktionsschritt: Seien $v_1,\dots,v_{n+1} \in V$ und $\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1} \in K$. Dann

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c l} & f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe aufteilen} \right.} \\[0.5em] = & f \left( \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_V} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Additivität von } f \right.} \\[0.5em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} f\left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Homogenität von } f \right.} \\[0.5em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Induktionsannahme} \right.} \\[0.5em] = & \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe zusammenfassen} \right.} \\[0.5em] = & \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \end{array}$