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Charakterisierung: Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch über folgende Eigenschaft charakterisiert werden:

Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.

Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil über Linearkombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis gründet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(λv)=λf(v)

Wir können auf eine Linearkombination wie 3u+5w2z für Vektoren u,w und z aus V die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:

f(3u+5w2z) Additivität von f=f(3u)+f(5w2z) Additivität von f=f(3u)+f(5w)+f(2z) Homogenität von f=3f(u)+5f(w)2f(z)

Die Linearkombination 3u+5w2z wird durch f auf 3f(u)+5f(w)2f(z) abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft f(v1+v2)=f(v1)+f(v2) sind Summen und durch die Eigenschaft f(λv)=λf(v) sind skalare Multiplikationen herausziehbar. Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:

Satz

Eine Abbildung f:VW zwischen zwei K-Vektorräumen V und W ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele v1,,vnV und λ1,,λnK gilt:

f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)

Beweis

Beweisschritt 1(v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi))f ist eine lineare Abbildung.

Seien v,v1,v2V und λK. Die beiden Terme v1+v2 und λv sind zwei Linearkombinationen in V. Wenn wir diese in die Formel f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi) einsetzen, so erhalten wir

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(λv)=λf(w)

Damit erfüllt f die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt 2

f ist eine lineare Abbildung (v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)).

Sei f eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über n:

Wir zeigen für n, dass v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)

Induktionsanfang: Wir fangen die Induktion bei n=1 an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

f(λ1Vv1) Homogenität von f=λ1Wf(v1)

Induktionsvoraussetzung: v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)

Induktionsbehauptung: v1,,vn,vn+1Vλ1,,λn,λn+1K:f(i=1n+1λiVvi)=i=1n+1λiWf(vi)

Induktionsschritt: Seien v1,,vn+1V und λ1,,λn+1K. Dann

f(i=1n+1λiVvi) Summe aufteilen=f((i=1nλiVvi)+V(λn+1Vvn+1)) Additivität von f=f(i=1nλiVvi)+Wf(λn+1Vvn+1) Homogenität von f=f(i=1nλiVvi)+W(λn+1Wf(vn+1)) Induktionsannahme=(i=1nλiWf(vi))+W(λn+1Wf(vn+1)) Summe zusammenfassen=i=1n+1λiWf(vi)

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu linearen Abbildungen

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