Was heißt Erweitern?

Im vorigen Abschnitt hast du kennen gelernt, das zwei Brüche den gleichen Bruchteil beschreiben können. Was das bedeutet schauen wir uns nun genauer an.

Wie sieht das anschaulich aus?

Der hier blau gefärbte Bruchteil ist %%\dfrac 13%%.

Ein Drittel

Wenn wir jeden Teil einmal halbieren, erhalten wir %%\dfrac 26%%.

Zwei Sechstel

Unterteilen wir jeden Teil noch einmal, dann sind es %%\dfrac4{12}%%.

Vier Zwölftel

Anschaulich ist dadurch klar, dass gilt:

%%\dfrac13=\dfrac26=\dfrac4{12}%%

Wie bedeutet das mathematisch?

Wenn wir bei dem Bruch %%\dfrac13%% den Zähler (1) und den Nenner (3) mit der Zahl %%2%% multiplizieren erhalten wir den Bruch %%\dfrac26%%:

$$\dfrac13=\dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac26$$

Genauso erhalten wir %%\dfrac4{12}%%, indem wir bei %%\dfrac26%% den Zähler (%%2%%) und Nenner (%%6%%) jeweils mit %%2%% multiplizieren:

$$\dfrac26=\dfrac{2\cdot2}{6\cdot2}=\dfrac4{12}$$

Formal können wir das schreiben als:

%%\dfrac13\overset{\cdot2}=\dfrac26\overset{\cdot2}=\dfrac4{12}%%

Dieses Vorgehen nennt man "Erweitern".

Anschaulich betrachtet bedeutet "Erweitern" eine Verfeinerung der Unterteilung,

mathematisch die Multiplikation von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl.

Wichtig: Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht!

Beispiel

Erweitere den Bruch %%\frac25%% mit 3.

Anschaulich:

Teile alle 5 Teile in jeweils 3 gleich große Teile.

erweitern

%%\Rightarrow \frac25=\frac6{15}%%

Mathematisch:

Multipliziere Zähler und Nenner mit der Zahl 3.

%%\dfrac25\overset3=\dfrac6{15}\;%% oder %%\;\dfrac25=\dfrac{2\cdot3}{5\cdot3}=\dfrac6{15}%%

Übungsaufgaben

1) Erweitere %%\frac56%% mit 2.

Lösung

$$\frac56=\frac{5\cdot2}{6\cdot2}=\frac{10}{12}$$

2) Erweitere %%\frac13%% mit 5.

Lösung:

$$\frac13=\frac{1\cdot5}{3\cdot5}=\frac5{15}$$

3) Erweitere die drei Brüche so, dass sie alle den Nenner 40 haben. $$\frac18,\frac25,\frac34$$

Lösung:

$$\frac18=\frac{1\cdot5}{8\cdot5}=\frac5{40}$$

$$\frac25=\frac{2\cdot8}{5\cdot8}=\frac{16}{40}$$

$$\frac34=\frac{3\cdot10}{4\cdot10}=\frac{30}{40}$$

4) %%\frac2{13}=\frac8{52}%% mit welcher Zahl wurde hier erweitert?

Lösung

Es wurde mit der Zahl 4 erweitert. Denn es gilt: $$\frac2{13}=\frac{2\cdot4}{13\cdot4}=\frac8{52}$$

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