3Was heißt Erweitern?

Im vorigen Abschnitt hast du kennengelernt, dass zwei Brüche den gleichen Bruchteil beschreiben können. Was das bedeutet, schauen wir uns nun genauer an.

Wie sieht das anschaulich aus?

Der hier blau gefärbte Bruchteil ist ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac\; 13$.

Wenn wir jeden Teil einmal halbieren, erhalten wir ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac\; 26$.

Unterteilen wir jeden Teil noch einmal, dann sind es ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac4\{12\}$.

Anschaulich ist dadurch klar, dass gilt:

${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac13=\backslash dfrac26=\backslash dfrac4\{12\}$

Was bedeutet das mathematisch?

Wenn wir bei dem Bruch ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac13$ den Zähler (1) und den Nenner (3) mit der Zahl 2 multiplizieren, erhalten wir den Bruch ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac26$:

Genauso erhalten wir ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac4\{12\}$, indem wir bei ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac26$ den Zähler (2) und Nenner (6) jeweils mit 2 multiplizieren:

Formal können wir das schreiben als:

${\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{2}{6}}{\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac13\backslash overset\{\backslash cdot2\}=\backslash dfrac26\backslash overset\{\backslash cdot2\}=\backslash dfrac4\{12\}$

Dieses Vorgehen nennt man "Erweitern".

Beispiel

Erweitere den Bruch $\frac{2}{5}\backslash frac25$ mit 3.

Anschaulich:

Teile alle 5 Teile in jeweils 3 gleich große Teile.

$\Rightarrow \frac{2}{5}=\frac{6}{15}\backslash Rightarrow\; \backslash frac25=\backslash frac6\{15\}$

Mathematisch:

Multipliziere Zähler und Nenner mit der Zahl 3.

${\displaystyle \frac{2}{5}}{\displaystyle \frac{6}{15}}\backslash dfrac25\backslash overset3=\backslash dfrac6\{15\}\backslash ;$ oder ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\displaystyle \frac{6}{15}}\backslash ;\backslash dfrac25=\backslash dfrac\{2\backslash cdot3\}\{5\backslash cdot3\}=\backslash dfrac6\{15\}$

Übungsaufgaben

1) Erweitere $\frac{5}{6}\backslash frac56$ mit 2.

2) Erweitere $\frac{1}{3}\backslash frac13$ mit 5.

3) Erweitere die drei Brüche so, dass sie alle den Nenner 40 haben.

4) $\frac{2}{13}=\frac{8}{52}\backslash frac2\{13\}=\backslash frac8\{52\}$ mit welcher Zahl wurde hier erweitert?