Aufgaben zur Vierfeldertafel - lernen mit Serlo!

Ein Betreiber eines Eisenbahnunternehmens hat eine Umfrage unter seinen Fahrgästen durchgeführt, die ergab, dass 10% der Fahrgäste in der ersten Klasse reisen. Außerdem wurde in der Umfrage abgefragt, wie zufrieden die Fahrgäste mit dem Service des Unternehmens sind. Hoch erfreut stellt das Unternehmen fest, dass $\frac56$ der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden sind. Alarmierend dagegen sind die Zufridenheitszahlen der ersten Klasse: 70% der Fahrgäste erster Klasse sind unzufrieden. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$E$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1. Klasse-Fahrer."

$Z$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden."

Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
Als dem Geschäftsführer die Zufriedenheitszahlen der 1. Klasse mitgeteilt werden, ist dieser schockiert. Resigniert erklärt er, dass das Unternehmen es nicht geschafft habe, den Zufriedenheitswert von 77% der Fahrgäste aus dem Vorjahr zu verbessern. Hat er recht?
Tatsächlich stellt er fest, dass im Vorjahr 85% der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden waren und immerhin 45% der Fahrgäste erster Klasse. Damit haben sich beide Werte in diesem Jahr verschlechtert. Stelle diese Werte in Bezug zu deiner Antwort auf Teilaufgabe 2. Erstelle dazu auch eine Vierfeldertafel für das Vorjahr.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Teilaufgabe 1

Gegeben sind die Ereignisse:

$E$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1. Klasse-Fahrer"

$Z$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden"

Gegeben sind die folgenden Werte:

$P(E)=10\%=0{,}1$

$P_{\overline E}(Z)=\frac{5}{6}$

$P_{E}(\overline Z)=70\%=0{,}7$

Damit kannst du mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit folgende Werte errechnen:

$P(E \cap \overline Z) = P(E)\cdot P_{E}(\overline Z)=0{,}1\cdot 0{,}7 = 0{,}07$

$P(\overline E)=1-P(E)=1-0{,}1=0{,}9$

$P(\overline E \cap Z) = P(\overline E)\cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}9\cdot \frac56 = 0{,}75$

Schreibe diese Werte in eine Vierfeldertafel.

	$E$	$\overline E$
$Z$		$0{,}75$
$\overline Z$	$0{,}07$
	$0{,}1$	$0{,}9$	$1$

Nun kannst du weitere Werte berechnen:

$P(E \cap Z) = P(E)-P(E \cap \overline Z)=0{,}1-0{,}07=0{,}03$

$P(\overline E \cap \overline Z)=P(\overline E)-P(\overline E \cap Z)=0{,}9-0{,}75=0{,}15$

Füge diese in die Vierfeldertafel ein:

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}03$	$0{,}75$
$\overline Z$	$0{,}07$	$0{,}15$
	$0{,}1$	$0{,}9$	$1$

Damit kannst du die restlichen Werte berechnen:

$P(Z)=(Z \cap E) + P(Z \cap \overline E)=0{,}03 + 0{,}75 = 0{,}78$

$P(\overline Z)=P(\overline Z)+P(\overline Z \cap \overline E) = 0{,}07+0{,}15 = 0{,}22$

Damit ergibt sich die vollständige ausgefüllte Vierfeldertafel als:

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}03$	$0{,}75$	$0{,}78$
$\overline Z$	$0{,}07$	$0{,}15$	$0{,}22$
	$0{,}1$	$0{,}9$	$1$

Teilaufgabe 2

Wie aus der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1 ersichtlich wird gilt $P(Z)=0{,}78=78\%$ . Damit hat sich der Zufriedenheitswert gegenüber dem Vorjahr um 1 Prozentpunkt verbessert. Der Geschäftsführer hat somit Unrecht.

Teilaufgabe 3

Obwohl sich die Zufriedenheitswerte der Fahrgäste erster Klasse von 45% im Vorjahr auf 30% in diesem Jahr und der Fahrgäste zweiter Klasse von 85% im Vorjahr auf $\frac56\approx83{,}3\%$ in diesem Jahr verschlechtert haben, sind sie bei Betrachtung aller Fahrgäste von 77% auf 78% gestiegen. Wie ist dies möglich? Stelle dazu eine Vierfeldertafel für das Vorjahr auf.

Gegeben sind folgende Werte:

$P(Z)=77\%=0{,}77$

$P_{\overline E}(Z)=85\%=0{,}85$

$P_{E}(Z)=45\%=0{,}45$

Bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrgast erster Klasse fährt, mit $x\;(P(E)=x)$ . Dann gilt nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

$P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0{,}45 \cdot x$

$P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}85 \cdot (1-x)$

Desweiteren gilt die Gleichung:

$\displaystyle P(Z)$	$=$	$\displaystyle P(E \cap Z) + P(\overline E \cap Z)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle 0{,}77$	$=$	$\displaystyle 0{,}45 \cdot x + 0{,}85 \cdot (1-x)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
	$=$	$\displaystyle 0{,}45 \cdot x -0{,}85 \cdot x + 0{,}85$	$\displaystyle +0{,}4\cdot x$
$\displaystyle 0{,}77+0{,}4\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0{,}85$	$\displaystyle -0{,}77$
$\displaystyle 0{,}4\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0{,}08$	$\displaystyle :0{,}4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

Damit kannst du die Werte in die Vierfeldertafel einsetzen, indem du in die obigen Formeln das $x$ einsetzt.

$P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0{,}45 \cdot 0{,}2=0{,}09$

$P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}85 \cdot (1-0{,}2)=0{,}68$

Setze nun in die Vierfeldertafel ein.

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}09$	$0{,}68$	$0{,}77$
$\overline Z$
	$0{,}2$	$0{,}8$	$1$

Nun kann man die restlichen Werte leicht bestimmen:

$P(E \cap \overline Z)= P(E) - P(E \cap Z) = 0{,}2 - 0{,}09 = 0{,}11$

$P(\overline E \cap \overline Z)= P(\overline E) - P(\overline E \cap Z) = 0{,}8 - 0{,}68 = 0{,}12$

$P(\overline Z) = 1 - P(Z) = 1 - 0{,}77 = 0{,}23$

Erstelle nun die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für das Vorjahr:

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}09$	$0{,}68$	$0{,}77$
$\overline Z$	$0{,}11$	$0{,}12$	$0{,}23$
	$0{,}2$	$0{,}8$	$1$

Der Umstand, dass sich trotz der Verschlechterung der Zufriedenheitswerte bei den Fahrgästen erster und zweiter Klasse insgesamt eine Verbesserung der Zufriedenheitswerte ergibt, ist also der Tatsache geschuldet, dass sich das Fahrgastverhalten dahingehend geändert hat, dass deutlich mehr Fahrgäste zweiter Klasse fahren als im Vorjahr und dort die Zufriedenheitswerte im Vergleich zur ersten Klasse nur sehr leicht gesunken sind.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.