gesucht: $P(X=3) = \dots?$

Weil man mit Zurücklegen zieht, ist die Zufallsgröße $X$ binomialverteilt.

$P(X=3)=B(5,\frac{x}{5},3)$

$\hphantom{P(X=3)}=\binom{5}{3}\cdot\left( \frac{x}{5} \right) ^3\cdot\left(\frac{5-x}{5}\right)^2$

$\hphantom{P(X=5)}=…=2\cdot\displaystyle\frac{x^3\cdot(5-x)^2}{625}$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen eine rote Kugel zu ziehen.

Bei $x=4$ folgt $p=\frac45=0{,}8$.

Bestimme nun die einzelnen Funktionswerte der Verteilungsfunktion.

$F_X(0)=P(X\le 0)=B(5,\frac{4}{5},0)$

$\hphantom{F_X(0)}=\binom50\cdot\left(\frac45\right)^0\cdot\left(\frac15\right)^5=\left(\frac15\right)^5$

$\hphantom{F_X(0)}=0{,}00032$

$F_X(1)=P(X\le 1)=B(5,\frac{4}{5},1)+B(5,\frac{4}{5},0)$

$\hphantom{F_X(1)}=\binom51\cdot\left(\frac45\right)^1\cdot\left(\frac15\right)^4+0{,}00032$

$\hphantom{F_X(1)}=5\cdot\frac45\cdot\frac1{5^4}+0{,}00032=$

…

$\hphantom{F_X(1)}=5\cdot\frac45\cdot\frac1{5^4}+0{,}00032=$

$\hphantom{F_X(1)}=B(5,\frac45{,}5)+B(5,\frac45{,}4)+B(5,\frac45{,}3)$

$\hphantom{F_X(1)}+B(5,\frac45{,}2)+B(5,\frac45{,}1)+B(5,\frac45{,}0)$ $\hphantom{F_X(1)}=1$

Fasse die Fälle zusammen.

$ F_X(k)=\begin{cases} 0,&\text{wenn}&k<0\\0{,}00032,&\text{wenn}&0\leq k<1\\0{,}00672,&\text{wenn}&1\leq k<2\\0{,}05792,&\text{wenn}&2\leq k<3\\0{,}26272,&\text{wenn}&3\leq k<4\\0{,}67232,&\text{wenn}&4\leq k<5\\1,&\text{wenn}&k\geq 5\end{cases}$

• "höchstens 3"

Du hast bereits die Verteilungsfunktion aufgestellt. Lies daraus das Ergebnis ab.

$P(X\le3)=F_X(3)=0{,}26272$

• "mindestens 4"

Forme um zu Rechnungen mit $P(X \leq \dots)$: "Mindestens 4" ist das Gegenteil von "höchstens 3", daher folgt:

$P(X\ge4)=1-P(X\le3)$

Setze nun das Ergebnis aus der Verteilungsfunktion ein.

$\hphantom{P(X\geq 4)}=1-0{,}26272=0{,}73728$

• "keine"

Lies den Wert $F_X(0)$ aus der Verteilungsfunktion ab.

$P(X=0)=P(X\le 0)=0{,}00032$

• "mehr als 2 und höchstens 4"

Forme um zu Rechnungen mit $P(X\leq \dots)$: "mehr als 2" ist das Gegenteil von "höchstens 2". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}P(2<X\leq 4)&=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)\\ &=F_X(4)-F_X(2)\\&=0{,}67232-0{,}0579\\ &=0{,}6144\end{array}$

• "mindestens 2 und weniger als 5"

Forme um zu Rechnungen mit $P(X\leq \dots)$: , "weniger als 5" entspricht "höchstens 4".

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}P(2\leq X<5)&=P(2\leq X \leq 4)= P(1<X\leq4)\\ &=P(X\leq 4)-P(X\leq 1)\end{array}$

Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.

$\def\arraystretch{1.25}  \begin{array}{rl}\hphantom{P(2\leqX<5)}&=F_X(4)-F_X(1)\\&=0{,}67232-0{,}00672\\&=0{,}6656\end{array}$

• "höchstens 1 oder mehr als 3"

Berechne die Wahrscheinlichkeit der Fälle höchstens 1 und mehr als 3. Wegen "oder" musst du diese Wahrscheinlichkeiten dann addieren.

$P(X\le 1)+P(X>3)$

Forme um zu Rechnungen mit $P(X\leq \dots)$: "mehr als 3" ist das Gegenteil von "höchstens 3". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.

$=P(X\le1)+(1-P(X\le3))$

$=0{,}00672+(1-0{,}26272)=0{,}744$