1. Zur Zufallsgröße $XX$:

Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $XX$ zu bestimmen, überlege dir erst, welche Werte $XX$ überhaupt annehmen kann. Die Augenzahl der beiden Würfel kann den Wert 2,3 und 4 annehmen. Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:

P(X=2)=$\frac{1}{4}\backslash frac14$

P(X=3)=$\frac{2}{4}\backslash frac24$

P(X=4)=$\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$

2. Zur Zufallsgröße $YY$:

Überlege dir wieder welche Werte $YY$ überhaupt annehmen kann. $YY$ kann nur die Werte 1,2 und 4 annehmen.

Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:

$P(Y=1)=P(Y=1)=$ $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$

$P(Y=2)=\frac{1}{2}P(Y=2)=\backslash frac\{1\}\{2\}$

P(Y=4)=$\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $YY$ sieht also so aus:

Der Erwartungswert der Zufallsvariable $XX$ berechnet sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$E(X)=2\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}=3E(X)=\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac14+\; 3\; \backslash cdot\; \backslash frac12+4\backslash cdot\; \backslash frac14=3$

Der Erwartungswert der Zufallsvariable $YY$ lässt sich genauso berechnen:

$E(Y)=1\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}=\mathrm{2,25}E(Y)=\; 1\backslash cdot\; \backslash frac14+\; 2\backslash cdot\; \backslash frac12\; +4\backslash cdot\; \backslash frac14=\; 2\{,\}25$

Auch die Varianz lässt sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen:

Zuerst berechnet man $E(X^2)E(X^2)$

$E(X^2)=(\frac{1}{4})\cdot 4+(\frac{1}{2})\cdot 9+(\frac{1}{4})\cdot 16=\mathrm{9,5}E(X^2)=\; (\backslash frac14)\; \backslash cdot\; 4\; +\; (\backslash frac12)\; \backslash cdot\; 9\; +\; (\backslash frac14)\; \backslash cdot\; 16=\; 9\{,\}5$

Also ist die Varianz von $XX$: $Var(X)=\mathrm{9,5}-3^2=\mathrm{0,5}Var(X)=9\{,\}5-3^2=\; 0\{,\}5$

Die Standardabweichung ist dann $\sigma (X)=\sqrt{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{0,707}\backslash sigma(X)=\backslash sqrt\{0\{,\}5\}\backslash approx0\{,\}707$.

Die Varianz von $YY$ berechnet sich ebenso:

$E(Y^2)=1\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{2}+16\cdot \frac{1}{4}=\mathrm{6,25}E(Y^2)=1\; \backslash cdot\; \backslash frac14\; +4\; \backslash cdot\; \backslash frac12\; +\; 16\backslash cdot\; \backslash frac14=6\{,\}25$

Also ist die Varianz von $YY$:

$Var(Y)=\mathrm{6,25}-{\mathrm{2,25}}^2=\mathrm{1,1875}Var(Y)=6\{,\}25-2\{,\}25^2=1\{,\}1875$

Die Standardabweichung ist dann $\sigma (Y)=\sqrt{\mathrm{1,1875}}\approx \mathrm{1,09}\backslash sigma(Y)=\backslash sqrt\{1\{,\}1875\}\backslash approx1\{,\}09$.