Einzeichnen des Koordinatensystems

Wie du bereits weißt, ist ein Würfel dreidimensional. Somit musst du ein dreidimensionales Koordinatensystem verwenden.

Der Ursprung eines solchen Koordinatensystems hat die Koordinaten $(0|0|0)$. Der angegebene Punkt $H$ hat genau diese Koordinaten. Das bedeutet, dass das Koordinatensystem durch diesen Punkt geht.

Du kannst mithilfe von den angegebenen Punkten $D$, $E$ und $F$ leicht überprüfen, dass diese ins Koordinatensystem passen.

Da die eingezeichneten Punkte $3$ Koordinatenbestandteile haben, solltest du die Koordinatenachsen als $x_1$, $x_2$ und $x_3$ definieren.

Koordinaten des Punktes $A$

Ein Würfel hat gleich lange Seiten, die durch gleich lange Vektoren repräsentiert werden.

$|\overrightarrow{HE}|=\left|\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2+0^2+0^2} = 2$

Entsprechend der Zeichnung liegt der Punkt $A$ direkt unter dem Punkt $E$. Die Seitenlänge dieser Strecke $[EA]$ ist also auch $2$. Nun überlegt man sich folgendes:

• $A$ liegt direkt unter $E$. Die $x_1$-Koordinate muss also gleich bleiben.

• $x_1: 2$

• Dementsprechend ist $A$ auch in der $x_2$-Achse nicht verschoben.

• $x_2: 0$

• $A$ ist aufgrund der Seitenlänge um $2$ Längeneinheiten (LE) nach unten verschoben.

• $x_3:$ nach unten um $2$ LE $\rightarrow$ $-2$

Der Punkt $A$ hat also die Koordinaten $(2|0|-2)$.

Das erste, was dir auffallen sollte ist, dass der Abstand: $\overline{HP} = 3$

$|\overrightarrow{HP}| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} \right| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} = 3$

Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass $P$ auf der Kante $[FB]$ liegt. Deshalb haben $F$ und $B$ die gleiche $x_1$- und $x_2$-Koordinate.

• $p_1 = 2$

• $p_2 = 2$

Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate $p_3$ des Punktes $P$ finden.

$|\overrightarrow{HP}| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2} = \sqrt{2^2+2^2+p_3^2} = \sqrt{8+p_3^2} = 3$

Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für $p_3$ aus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlr} \sqrt{8+{p_3}^2} &= &3 &|{\ldots}^2\\8+p_3^2 &=& 9 &| - 8\\p_3^2 &=& 1 &\sqrt{\ldots}\\p_3&=&\pm 1 \end{array}$

Der Punkt muss auf der Strecke zwischen $B$ und $F$ liegen, also muss auch seine $x_3$-Koordinate zwischen der von $B$ und der von $F$ liegen. Damit muss die $x_3$-Koordinate zwischen $-2$ und $0$ liegen.

Die dritte Koordinate für $P$ ist entweder $-1$ oder $1$. Da allerdings $1$ nicht in der Menge $[-2{,}0]$ liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.

Die Koordinaten des Punktes $P$ sind also $(2|2|-1)$.