Einzeichnen des Koordinatensystems

Wie du bereits weißt, ist ein Würfel dreidimensional. Somit musst du ein dreidimensionales Koordinatensystem verwenden.

Der Ursprung eines solchen Koordinatensystems hat die Koordinaten $(0|0|0)$. Der angegebene Punkt $H$ hat genau diese Koordinaten. Das bedeutet, dass das Koordinatensystem durch diesen Punkt geht.

Du kannst mithilfe von den angegebenen Punkten $D$, $E$ und $F$ leicht überprüfen, dass diese ins Koordinatensystem passen.

Da die eingezeichneten Punkte $3$ Koordinatenbestandteile haben, solltest du die Koordinatenachsen als $x_1$, $x_2$ und $x_3$ definieren.

Koordinaten des Punktes $A$

Ein Würfel hat gleich lange Seiten, die durch gleich lange Vektoren repräsentiert werden.

$|\overrightarrow{HE}|=|\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)|=\left|\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{2^2+0^2+0^2}=2$

Entsprechend der Zeichnung liegt der Punkt $A$ direkt unter dem Punkt $E$. Die Seitenlänge dieser Strecke $[EA]$ ist also auch $2$. Nun überlegt man sich folgendes:

• $A$ liegt direkt unter $E$. Die $x_1$-Koordinate muss also gleich bleiben.

• $x_1:2$

• Dementsprechend ist $A$ auch in der $x_2$-Achse nicht verschoben.

• $x_2:0$

• $A$ ist aufgrund der Seitenlänge um $2$ Längeneinheiten (LE) nach unten verschoben.

• $x_3:$ nach unten um $2$ LE $\to$ $-2$

Der Punkt $A$ hat also die Koordinaten $(2|0|-2)$.

Das erste, was dir auffallen sollte ist, dass der Abstand: $\overline{HP}=3$

$|\overrightarrow{HP}|=|\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)|=\left|\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\right|=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2}=3$

Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass $P$ auf der Kante $[FB]$ liegt. Deshalb haben $F$ und $B$ die gleiche $x_1$- und $x_2$-Koordinate.

• $p_1=2$

• $p_2=2$

Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate $p_3$ des Punktes $P$ finden.

$|\overrightarrow{HP}|=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2}=\sqrt{2^2+2^2+p_3^2}=\sqrt{8+p_3^2}=3$

Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für $p_3$ aus.

$\begin{array}{rlrr}\sqrt{8+{p_3}^2}& =& 3& |{\dots }^2\\ 8+p_3^2& =& 9& |-8\\ p_3^2& =& 1& \sqrt{\dots }\\ p_3& =& \pm 1& \end{array}$

Der Punkt muss auf der Strecke zwischen $B$ und $F$ liegen, also muss auch seine $x_3$-Koordinate zwischen der von $B$ und der von $F$ liegen. Damit muss die $x_3$-Koordinate zwischen $-2$ und $0$ liegen.

Die dritte Koordinate für $P$ ist entweder $-1$ oder $1$. Da allerdings $1$ nicht in der Menge $[-\mathrm{2,0}]$ liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.

Die Koordinaten des Punktes $P$ sind also $(2|2|-1)$.