Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFGH.
Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten:
D(0∣0∣−2), E(2∣0∣0), F(2∣2∣0) und H(0∣0∣0).
Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie den Koordinaten des Punkts A an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem
Einzeichnen des Koordinatensystems
Wie du bereits weißt, ist ein Würfel dreidimensional. Somit musst du ein dreidimensionales Koordinatensystem verwenden.
Der Ursprung eines solchen Koordinatensystems hat die Koordinaten (0∣0∣0). Der angegebene Punkt H hat genau diese Koordinaten. Das bedeutet, dass das Koordinatensystem durch diesen Punkt geht.
Du kannst mithilfe von den angegebenen Punkten D, E und F leicht überprüfen, dass diese ins Koordinatensystem passen.
Da die eingezeichneten Punkte 3 Koordinatenbestandteile haben, solltest du die Koordinatenachsen als x1, x2 und x3 definieren.
Entsprechend der Zeichnung liegt der Punkt A direkt unter dem Punkt E. Die Seitenlänge dieser Strecke [EA] ist also auch 2. Nun überlegt man sich folgendes:
A liegt direkt unter E. Die x1-Koordinate muss also gleich bleiben.
x1:2
Dementsprechend ist A auch in der x2-Achse nicht verschoben.
x2:0
A ist aufgrund der Seitenlänge um 2 Längeneinheiten (LE) nach unten verschoben.
Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass P auf der Kante [FB] liegt. Deshalb haben F und B die gleichex1- und x2-Koordinate.
p1=2
p2=2
Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate p3 des Punktes P finden.
∣HP∣=p12+p22+p32=22+22+p32=8+p32=3
Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für p3 aus.
8+p328+p32p32p3====391±1∣…2∣−8…
Der Punkt muss auf der Strecke zwischen B und F liegen, also muss auch seine x3-Koordinate zwischen der von B und der von F liegen. Damit muss die x3-Koordinate zwischen −2 und 0 liegen.
Die dritte Koordinate für P ist entweder −1 oder 1. Da allerdings 1 nicht in der Menge [−2,0] liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.