Damit ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht, muss er ein lineares Vielfaches des Normalenvektors sein. Es muss also eine Zahl geben mit der man den Vektor multipliziert, um den Normalenvektor zu erhalten.

$P(1\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }2)P(1|0|2)$,$Q(5\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }6)Q(5|2|6)$

$\overrightarrow{n_E}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{n\_E\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Bilde den Richtungsvektor $\overrightarrow{PQ}\backslash overrightarrow\{PQ\}$ der Geradengleichung.

$\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}5-1\\ 2-0\\ 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{PQ\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 5-1\backslash \backslash 2-0\backslash \backslash 6-2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 4\backslash \backslash 2\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Untersuche auf lineare Abhängigkeit von $\overrightarrow{n_E}\backslash overrightarrow\{n\_E\}$.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=k\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 4\backslash \backslash 2\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Die Gleichung ist für $k=\frac{1}{2}k=\backslash frac\{1\}\{2\}$ erfüllt!

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 4\backslash \backslash 2\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Somit steht die Gerade senkrecht auf der Ebene.

Dass $PP$ und $QQ$ symmetrisch zur Ebene $FF$ liegen, bedeutet, dass $FF$ in der Mitte der beiden Punkte liegen muss und der Vektor $\overrightarrow{PQ}\backslash overrightarrow\{PQ\}$ senkrecht auf $FF$ steht.

$P(1\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }2),P(1|0|2),$ $Q(5\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }6)Q(5|2|6)$

Berechne den Mittelpunkt $MM$ von $\overrightarrow{PQ}\backslash overrightarrow\{PQ\}$.

$\overrightarrow{M}=\frac{1}{2}\cdot [\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)]=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{M\}=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash left\; [\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\; +\backslash begin\{pmatrix\}\; 5\backslash \backslash 2\backslash \backslash 6\backslash end\{pmatrix\}\backslash right\; ]=\backslash begin\{pmatrix\}\; 3\backslash \backslash 1\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Dass $\overrightarrow{PQ}\backslash overrightarrow\{PQ\}$ senkrecht auf $FF$ und auf $EE$ steht (Ergebnis aus Teilaufgabe a) bedeutet, dass beide Ebenen denselben Normalenvektor haben.

$F:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+n_0=0F:\; n\_1x\_1\; +\; n\_2x\_2\; +\; n\_3x\_3\; +\; n\_0\; =0$

$F:2x_1+x_2+2x_3+n_0=0F:\; 2x\_1\; +\; x\_2\; +\; 2x\_3\; +\; n\_0\; =0$

Die Ebene $FF$ enthält den Punkt $MM$. Setze ihn in die Ebenengleichung ein, um $n_{0}n\_0$ zu bekommen.

$2\cdot 3+1+2\cdot 4+n_0=02\backslash cdot\; 3\; +\; 1\; +\; 2\backslash cdot\; 4\; +\; n\_0\; =0$ $15+n_0=015\; +n\_0\; =0$ $n_0=-15n\_0=-15$

Schreibe die fertige Ebenengleichung auf.

$F:2x_1+x_2+2x_3=15F:\; 2x\_1+x\_2+2x\_3=15$