Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Ebene $E:2x_1+x_2+2x_3=6$ sowie die Punkte $P(1| 0 | 2 )$ und $Q(5|2|6)$ .
1. Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
  Damit ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht, muss er ein lineares Vielfaches des Normalenvektors sein. Es muss also eine Zahl geben mit der man den Vektor multipliziert, um den Normalenvektor zu erhalten.
  $P(1|0|2)$ , $Q(5|2|6)$
  $\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix} 2\\1\\2\end{pmatrix}$
  Bilde den Richtungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ der Geradengleichung.
  $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 5-1\\2-0\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\2\\4\end{pmatrix}$
  Untersuche auf lineare Abhängigkeit von $\overrightarrow{n_E}$ .
  $\begin{pmatrix} 2\\1\\2\end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\4\end{pmatrix}$
  Die Gleichung ist für $k=\frac{1}{2}$ erfüllt!
  $\begin{pmatrix} 2\\1\\2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\4\end{pmatrix}$
  $\begin{pmatrix} 2\\1\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\\1\\2\end{pmatrix}$
  Somit steht die Gerade senkrecht auf der Ebene.
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2. Die Punkte $P$ und $Q$ liegen symmetrisch zu einer Ebene $F$ . Ermitteln Sieeine Gleichung von $F$ . (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
  Dass $P$ und $Q$ symmetrisch zur Ebene $F$ liegen, bedeutet, dass $F$ in der Mitte der beiden Punkte liegen muss und der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf $F$ steht.
  $P(1|0|2),$ $Q(5|2|6)$
  Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overrightarrow{PQ}$ .
  $\overrightarrow{M}= \frac{1}{2} \cdot \left [ \begin{pmatrix} 1\\0\\2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 5\\2\\6\end{pmatrix}\right ]=\begin{pmatrix} 3\\1\\4\end{pmatrix}$
  Dass $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf $F$ und auf $E$ steht (Ergebnis aus Teilaufgabe a) bedeutet, dass beide Ebenen denselben Normalenvektor haben.
  $F: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 =0$
  $F: 2x_1 + x_2 + 2x_3 + n_0 =0$
  Die Ebene $F$ enthält den Punkt $M$ . Setze ihn in die Ebenengleichung ein, um $n_0$ zu bekommen.
  $2\cdot 3 + 1 + 2\cdot 4 + n_0 =0$ $15 +n_0 =0$ $n_0=-15$
  Schreibe die fertige Ebenengleichung auf.
  $F: 2x_1+x_2+2x_3=15$
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Gegeben sind die Punkte $A(-2|1|4)$ und $B(-4|0|6)$ .

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ . (2 BE)

Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die Gerade $g$ . Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gelten:

$\mathrm{I}:$ Jede dieser Geraden schneidet die Gerade $g$ orthogonal. $\mathrm{II}:$ Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$ .

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. (3 BE)

Die allgemeine Geradengleichung in der analytischen Geometrie lässt sich schreiben als $h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{P} + \lambda \overrightarrow{u}$

Bedingung $\mathrm{I}$ : Orthogonalität

Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Dies ist der Fall, falls ihr Skalarprodukt Null ergibt.

Bei Geraden überprüfst du diese Bedingung, indem du das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren bildest. Der Richtungsvektor von $g$ ist der Vektor

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}

(siehe a)).

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow u &= &0 \\\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} &= &0 \\-2u_1 + (-u_2) + 2u_3 &= &0\end{array}$

Allerdings bekommst du eine Gleichung mit drei Unbekannten. In solch einem Fall darfst du zwei Unbekannte frei auswählen.

Du kannst hierfür z. B. $u_1 = t$ und $u_3 = t$ für $t \in \mathbb{R}$ allgemein festlegen. Dann gilt

$\displaystyle -2u_1-u_2+2u_3$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -2t-u_2+2t$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -u_2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 0$

Der Richtungsvektor der neuen Gerade $h$ lautet also

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}t\\0\\t\end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Bedingung $\mathrm{II}$ : Abstand

Es fehlt nur noch der Stützpunkt $P$ der Gerade $h$ . Dieser soll zum Stützpunkt $A$ der Gerade $g$ den Abstand $3$ haben.

Wie du auch auf dem Bild unten erkennen kannst, gibt es zwei Möglichkeiten, eine passende Gerade $h$ zu finden.

Der Stützpunkt $P_1$ bzw. $P_2$ haben den Abstand $3$ zu dem Punkt $A$ .

Vielleicht fällt dir direkt auf, dass der Abstand von Punkt $A$ zu Punkt $B$ die Länge hat:

$|\overrightarrow{AB}|=|\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}|\\=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}\\=\sqrt{9}=3$

Damit eignet sich der Punkt $B$ als Aufpunkt und eine der möglichen Geraden ist:

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}

Dann bist du an dieser Stelle fertig. Wenn dir das nicht aufgefallen ist, kannst du auch folgendem, allgemeinem Schema folgen:

Normiere den Vektor $\overrightarrow{AB}$ , bringe ihn also zuerst auf die Länge $1$ .

$\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}$	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}} \\$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$

Multipliziere diese Normierung mit $3$ , um den richtigen Abstand zu bekommen.

$\displaystyle 3 \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}$	$=$	$\displaystyle 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$

Nun kannst du den Stützpunkt $P_ {1{,}2}$ der Geraden $h_{1{,}2}$ berechnen, indem du ihn zum Stützpunkt $A$ addierst bzw. von $A$ subtrahierst.

\displaystyle \overrightarrow{P_{1{,}2}}

=

\displaystyle \overrightarrow{A} \; \pm \; 3 \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}

$\displaystyle \\\overrightarrow{P_1}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{A} + 3 \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}$

$\displaystyle \\\overrightarrow{P_2}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow A - 3 \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$

Die gesuchten Geraden sind also

$h_1: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
$h_2: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Du musst für eine korrekte Lösung der Aufgabe allerdings nur eine von beiden Gleichungen angeben.

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$\displaystyle \overrightarrow{CA}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\overrightarrow{AB}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(\left(\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}\right)\right)$
$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix}$
$\displaystyle -\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}$
$\displaystyle -\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\-3\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}$

Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bedingung I\mathrm{I}I: Orthogonalität

Bedingung II\mathrm{II}II: Abstand

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Bedingung $\mathrm{I}$ : Orthogonalität

Bedingung $\mathrm{II}$ : Abstand