Lösungsplan

1. Steigung bei $x_0=0$ mithilfe der Ableitung ausrechnen.

2. Steigungswinkel über die Formel $m= \tan(\alpha)$ berechnen.

Ableitung berechnen

$f'(x)=-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x - 0{,}0625$

Neigungswinkel berechnen

$m=\tan(\alpha)$ $m=f'(x_0)$ $x_0 = 0$ $f’(0) = -0{,}0625$ $\alpha=\tan^{-1}(-0{,}0625)\approx -3{,}5763°$

$\rightarrow$ Der Neigungswinkel beträgt näherungsweise $3{,}58°$. Die Bahn fährt also mit einem Winkel von $3{,}58°$ nach unten.

Lösungsplan

1. Nullstellen der Ableitung berechnen.

2. Monotonie bestimmen.

3. Minimum der Funktion berechnen.

4. Punkt unter der Gesteinsschicht berechnen.

Nullstellen der Ableitung

$f'(x)=-7{,}5\cdot10^{-7}\cdot x^2+5\cdot10^{-4}\cdot x-0{,}0625$ $f'(x) = 0$ $-7{,}5\cdot10^{-7}\cdot x^2+5\cdot10^{-4}\cdot x-0{,}0625=0$

Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel

$x_{1/2}=\dfrac{-5\cdot10^{-4}\pm\sqrt{(5\cdot10^{-4})^2-4\cdot(-7{,}5\cdot10^{-7})\cdot(-0{,}0625)}}{2\cdot(-7{,}5\cdot10^{-7})}$

$x_{1}=\frac{500}{3}$ $x_{2}=500$

Monotonie bestimmen

Setze Werte unter $\frac{500}{3}$, zwischen $\frac{500}{3}$ und $500$ und Werte über $500$ in die Ableitung ein. Prüfe welche Vorzeichen sich für die Funktion ergeben. Wenn die Ableitung ein negatives Vorzeichen hat, fällt die Funktion. Wenn die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion. So ergibt sich $\frac{500}{3}$ als Minimum und $500$ als Maximum.

Minimum der Funktion berechnen

$f(\frac{500}{3})=-2{,}5\cdot10^{-7}\cdot(\frac{500}{3})^3+2{,}5\cdot10^{-4}\cdot(\frac{500}{3})^2-0{,}0625\cdot\frac{500}{3}+1{,}55=-\frac{1663}{540}$ Daraus ergibt sich die Stelle $x_{0}$ am Punkt $P (\frac{500}{3}\vert-\frac{1663}{540})$

Punkt unter der Gesteinsschicht berechnen

Die Gesteinsschicht beträgt 80cm. Wir ziehen also von den $\frac{1663}{540}$m unter der x-Achse - also der oberen Gesteinsschicht - noch $0{,}8$m ab.

$\frac{1663}{540}-0{,}8=\frac{1231}{540}\approx 2{,}28$

Antwort: Der Punkt liegt ca. 2,28m unter der Gesteinsschicht.

Lösungsplan

1. Bedingung für einen knickfreien Übergang an der Stelle $x_0$ lautet: $f'(x_0)=g'(x_0)$

2. Steigung bei $x_0=500$ mit Hilfe der Ableitung berechnen.

3. Steigung des Ausstellungsraumes bestimmen.

In Teilaufgabe 2 wurden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet.

Sie liegen bei $x=\frac{500}{3}$ und bei $x=500$. Somit gilt: $f'(500)=0$

Der Ausstellungsraum liegt laut Text waagrecht, d.h. die Steigung des Ausstellungsraumes ist gleich Null: $g'(500)=0$

$\Rightarrow$$f'(500)=g'(500)$

Antwort: Die Bedingung für einen knickfreien Übergang der Bahnlinie in den Ausstellungsraum ist erfüllt. Beide Graphen haben am Übergangspunkt die gleiche Steigung.

Lösungsplan

1. Die mittlere Steigung über die Formel $m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ berechnen.

2. Die 1.Ableitung gleich der mittleren Steigung setzen.

3. Die Gleichung lösen.

Der tiefste Punkt der Strecke hat die Koordinaten $P (\frac{500}{3}\vert-\frac{1663}{540})$

Der Endpunkt hat die Koordinaten $E(500\vert f(500)$.

Berechne $f(500)$:

$f(500) = -2{,}5 \cdot 10^{-7} \cdot (500)^3+2{,}5 \cdot 10^{-4} \cdot (500)^2 - 0{,}0625 \cdot 500+1{,}55= 1{,}55$

Die mittlere Steigung wird zwischen den Punkten $P (\frac{500}{3}\vert-\frac{1663}{540})$ und $E(500\vert1{,}55)$ berechnet:

$m=\frac{1{,}55-(-\frac{1663}{540})}{500-\frac{500}{3}}=\frac{1}{72}$

Antwort: Die mittlere Steigung, die die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke P und dem Endpunkt E überwinden muss, beträgt  $\dfrac{1}{72}.$

Die lokale Steigung soll gleich dieser mittleren Steigung sein.

$f'(x)=-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x - 0{,}0625$

$f'(x)=\dfrac{1}{72}$

$-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x - 0{,}0625=\dfrac{1}{72}$

$-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x -\dfrac{11}{144}=0$

Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel

$x_{1/2}=\frac{-5\cdot 10^{-4}\pm \sqrt{(5\cdot 10^{-4})^2-4\cdot (-7{,}5\cdot 10^{-7})\cdot (-\frac{11}{144})}}{2\cdot (-7{,}5\cdot 10^{-7})}$

$x_1\approx237{,}11$

$x_2\approx 429{,}56$

Antwort: An den Stellen $x_1\approx 237{,}11$ und $x_2\approx 429{,}56$ ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie die mittlere Steigung.

Lösungsplan

1. Berechnung der Wendestelle $x_w$

2. Berechnung der Steigung an der Wendestelle $x_w$.

In den Wendepunkten einer Funktion ist die Steigung (lokal) maximal oder minimal.

Berechne die 2. Ableitung der Funktion $f(x)$ und bestimme ihre Nullstellen.

$f''(x)=-15\cdot10^{-7}x+5\cdot10^{-4}$

$f''(x)=0$

$-15\cdot10^{-7} x + 5 \cdot 10^{-4}=0$

Löse die Gleichung nach $x$ auf: $x_w= \dfrac{5 \cdot 10^{-4}}{15\cdot10^{-7}}=\dfrac{1000}{3}$

Zur Überprüfung, ob $x_w$ Wendestelle ist, bilden wir die dritte Ableitung.

$f'''(x)=-15\cdot10^{-7}\ne0$ . Damit ist $x_w$ Wendestelle.

Zur Bestimmung der Steigung an der Wendestelle wird $x_w$ in die 1. Ableitung eingesetzt.

$f'(\frac{1000}{3})=-7{,}5\cdot 10^{-7}(\frac{1000}{3})^2+5\cdot 10^{-4}(\frac{1000}{3})-0{,}0625=\frac{1}{48}$

Die Steigung ist positiv, d.h. es handelt sich um die maximalste Steigung.

Antwort: Die maximalste Steigung, die die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt P und dem Punkt E bewältigen muss, beträgt $\dfrac{1}{48}.$